Base,supplémentaire

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Nthnazzzz
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Base,supplémentaire

par Nthnazzzz » 08 Avr 2021, 23:57

F=vect(P,Q) où P(X)= X+X² et Q(X)=X^3+1
1. Compléter (P,Q) en une base de C3[X]
2. Déterminer un supplémentaire de F dans C3[X]

J'ai besoin d'aide pour la première question, je pensais rajouter la base canonique mais je pense c'est un peu trop.
La deuxième question découle de la première ? Si on arrive a compléter par certains polynomes on les prendra comme supplémentaire ?



LB2
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Re: Base,supplémentaire

par LB2 » 09 Avr 2021, 00:23

Hello

pour 2., oui (attention à ne pas confondre vecteurs et s.e.v. engendré par ceux ci)

pour 1., quelle est la dimension de F? Donc combien de polynômes à (P,Q) dois tu rajouter pour avoir une base ?
tu peux (mais ce n'est pas obligatoire) traiter le problème matriciellement.

Je rappelle qu'une famille de polynôme de degré échelonnés est libre

Nthnazzzz
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Re: Base,supplémentaire

par Nthnazzzz » 09 Avr 2021, 15:05

La dimension de F est de 2 n'est ce pas ? La dimension de C3[X] est 4 donc il faut que je rajoute 2 polynomes ?
Dans la base C3[X], P a pour coordonnée (0,1,1,0) et Q(1,0,0,1) ?
Pour l'échelonnée je peux prendre (0,0,1,0) et (0,0,0,1) ?
Donc les polynomes X^2 et X^3 ?

LB2
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Re: Base,supplémentaire

par LB2 » 09 Avr 2021, 17:37

1 et X plutôt non?

Nthnazzzz
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Re: Base,supplémentaire

par Nthnazzzz » 09 Avr 2021, 18:14

P=(0,X,X²,0) Q=(1,0,0,X^3)
Pour l'échelonné
{(1,0,0,X^3) , (0,X,X²,0) , (0,0,X²,0),(0,0,0,X^3)} cette famille est échelonnée ?
Avec 1 et X
{(1,0,0,X^3) , (0,X,X²,0) , (1,0,0,0),(0,X,0,0)} est aussi échelonnée ?

Les deux solutions marchent non ?

LB2
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Re: Base,supplémentaire

par LB2 » 09 Avr 2021, 20:46

Revois la définition d'une famille de polynômes échelonnée en degrés

Nthnazzzz
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Re: Base,supplémentaire

par Nthnazzzz » 09 Avr 2021, 21:06

Je pense bien la connaître. Une famille échelonnée est une famille dont on peut ranger les éléments dans l'ordre strictement croissant de 0. Si elle n'est pas exacte pouvez vous me la décrire

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