Avis aux probabilistes?

[Lostounet]

Bonsoir,

Il y a une question d'un exercice que personne de mon entourage n'arrive à résoudre .. Je vous donne l'énoncé complet dans l'espoir que quelqu'un aurait au moins une piste pour ce dm... C'est la 2ème question qui pose problème...

Soit une suite de variable aléatoires uniformément intégrables tel que (Xn) converge en probabilité vers X (qui est dans ).
On pose pour toute variable aléatoire Y, la variable

1) (réussie) Prouver que pour tout K>0, converge en proba puis dans L1 vers

2) Prouver que:

3) (réussie en admettant la 2) En déduire que X_n converge dans L1 vers X

Voilà... D'ailleurs j'ai mis en place une preuve alternative sans passer par la 2) en m'inspirant d'une autre preuve...donc au pire je présenterai ma preuve. Mais j'aimerais bien essayer de comprendre le cheminement ici.

Merci de votre temps...

[Ben314]

Soit j'écris une grosse c.., soit c'est complètement évident :

(en supposant )


Et tu conclue en utilisant la définition de "uniformément intégrable".

[Lostounet]

Bonsoir Ben,

Je suis très surpris par la simplicité de cette question par rapport à la précédente... (je voudrais la relire demain car j'ai passé ma journée sur ces casse-têtes)

d'ailleurs oui j'avais commencé ainsi mais ton dernier passage avec cette majoration, c'est quand même très bien vu/une super idée. C'est tjrs vrais ça ? (L'astuce avec l'indicatrice)

Bravo, une fois encore Ben...

[Ben314]

Ben je sais pas : ça fait un sacré moment que je "joue plus" avec des découpage de fonctions à l'aide d'indicatrices, mais le souvenir que j'en garde, c'est quand même que de multiplier un truc par des indicatrices bien choisie, ça sert souvent à majorer/minorer le truc en question (grâce à l'indicatrice justement).
Plus précisément, le truc qui me semble classique, c'est d'écrire que où le permet de majorer par un truc petit ( est petit lorsque ), mais où par contre la mesure de A est majorée par un truc pas terrible alors que pour l'autre terme, c'est le contraire : on a une majoration pas terrible de X sur , mais par contre la mesure de est très petite.