Arithmtique

[infernaleur]

Salut,
j'ai besoin d'aide pour l'exercice suivant :

Soient p et q deux nombres premiers distincts.
Montrer que

Pour cela je voulais montrer que et
pour pouvoir utiliser ce critère :
Soient a un entier relatif et r,s deux entiers premiers entre eux. Si a est divisible par r et s, alors a est divisible par rs.
Mais je n'y arrive pas ...

Merci de votre aide !

[Ben314]

Salut,
C'est effectivement une bonne idée.
Concernant la suite, déjà, il est clair que p divise p^(q-1) donc il reste à montrer que p divise q^(p-1)-1 et ça, ben c'est le petit théorème de Fermat.
Soit tu a vu ce résultat et tu l'utilise directement, soit tu ne l'a pas vu et on peut te donner diverses méthodes pour le démontrer :
La plus élémentaire est peut-être de commencer par montrer par récurrence sur n que n^p-n est divisible par p pour tout entier n, mais il faut connaitre le binôme de Newton, sinon il existe aussi des preuves très peu calculatoires, mais qui demandent souvent plus d'astuce et de bien maitriser la divisibilité.

[infernaleur]

Bien sur le petit théorème de Fermat je l'avais oublié ...
Merci ben