Application

[Percolaptor]

Bonsoir
J'aurais une question pour une application :
Si f: E ->E' ou E et E' sont deux espaces métriques
Est ce qu'on a f^-1(E')=E ?

Merci d'avance

[SimonB]

Même sans espaces métriques, c'est vrai...

Quelle est la définition de ?

[Percolaptor]

C'est :
pour tout x€E et pour tout y€E'
f^-1(E')={y|f(x) € E'}

En fait je me suis posé cette question car d'après une proposition du cours :
soit f:(E,d)->(E',d') une application. Les 3 assertions suivantes sont équivalentes :
1)f est continue sur E
2)l'image réciproque par f de tt ouvert E' est un ouvert de E
3)l'image réciproque par f de tt fermé de E' est un fermé de E

2) signifie f^-1(E') est un ouvert de E? Dans ce cas on peut dire que E est un ouvert ?

[Nightmare]

Bonsoir,

Oui est un ouvert de E puisque c'est E tout entier (Et tout espace est ouvert dans lui même).

[Percolaptor]

Ok merci :)
J'ai justement un exercice concernant cette proposition :

Soient E et F 2 espaces métriques, K un espace métrique compact.
Soit f:ExK->F (µ,x) ->f(µ,x) une application continue. Pour tout y €F, on note Ey={µ€E| il existe x€K,f(µ,x)=y}

a) Mq Ey est un fermé de E

Solution:
On choisit E=Ey donc f:EyxK->F. Comme f est continue, Ey est un fermé de E.
Le raisonnement est correct?

[SimonB]

On choisit E=Ey

Qui te permet de faire ce "choix" ?

E est fixé (c'est ton gros espace de départ), Ey est aussi (une définition en a été donnée). Tu ne peux "choisir" E=Ey.

J'ai l'impression que tu n'as pas compris ce qu'était la continuité. La continuité, c'est POUR TOUT ouvert de l'arrivée, son image réciproque est un ouvert de départ. Pas seulement f^-1(E')=E !

[Percolaptor]

La continuité, c'est POUR TOUT ouvert de l'arrivée, son image réciproque est un ouvert de départ. Pas seulement f^-1(E')=E !

Ca signifie qu'on peut avoir f^-1(E')=E et f^-1(E) sont des ouverts ?

Concernant l'exercice,
peut on dire f^-1(Ey) est fermé par continuité de f ?

[Nightmare]

Pas compris ta première question ... (Enfin je l'ai comprise, mais c'est exactement la même que la première question donc je n'ai pas dû la comprendre).

Pour dire que est un fermé par argument de continuité, il faudrait déjà avoir prouvé que E(y) est un fermé.

[Nightmare]

L'idée serait justement d'exprimer Ey comme l'image réciproque d'un fermé par une application continue. A toi de trouver cette application (regarde bien la définition de Ey)

[Percolaptor]

Bonsoir,
je crois que je viens de comprendre la proposition, en fait on a : si f est continue et si E' est un fermé alors f^-1(E') est un fermé

Pour l'exercice, on exprime Ey en fct de l'application réciproque d'un fermé : Ey=f^-1({y}) ( car {y} est un fermé ). Après il faudra surement utiliser la compacité non?

[Nightmare]

Es-tu sûr que ? Ey n'est pas l'ensemble des couples (a,b) tel que f(a,b)=y, c'est l'ensemble des a tels qu'il existe un b tel que f(a,b)=y ce n'est pas la même chose !

Les images réciproques par f sont des sous ensembles de R², Ey est un sous ensemble de R, cela m'étonnerait donc que Ey s'exprime comme l'image réciproque d'un ensemble par f. Par contre, on peut peut être considérer les applications partielles !