Application !

par **barbu23** » 05 Déc 2007, 13:36

Bonjour :
Est ce que quelqu'un peut me donner la demonstration de la propriété suivante ? et quel est son interet ?
Théorème :
Soient

une partie dense de

: espace metrique, et

un espace metrique complet.
Soit

une application uniformement continue, alors : il existe un prolongement unique de

qui est

sur

tel que :

est uniforment continue et on a :

.
Est ce que quelqu'un connait un endroit ou trouver quelques execies simples ou on peut utiliszer ce theorème !
Merci infiniment !

par **barbu23** » 05 Déc 2007, 13:47

Help pls !

par **tize** » 05 Déc 2007, 13:58

Bonjour,
puisque X est dense et g est continue alors le prolongement est unique.
Pour x dans E privé de X, si

ce la veut dire que

est de Cauchy et donc pour tout e>0 il existe un entier N tel que pour tout n>N

, et puisque g est uniformément continue sur X on peut choisir e de manière à avoir

et donc

est de Cauchy dans E complet et donc converge. Reste à voir que cette dernière limite ne dépend que de x et pas de la suite

...
Puis il faut montrer que g est aussi uniformément continue...

par **ThSQ** » 05 Déc 2007, 14:18

On a fait l'exo sur le forum y'a pas longtemps. Sinon le site les-mathematiques.net est une mine d'infos :
http://www.les-mathematiques.net/a/a/b/node26.php3