Application

par **sandrine_guillerme** » 20 Jan 2007, 00:09

Bonsoir tout le monde,

je suis en train de revoir mon cours en algèbre mais je crois que j'ai oublié beaucoup de truc .. ! ! !
bon bref soit E un ensemble et P(E) l'ensemble de ses parties . montrer qu'il n'existe pas de bijection f de E.
alors là j'ai commencer par raisonner par absurde en considère la partie A={x dans E et x n'est pas dans f(x)} mais bon je sais pas comment faire . qui dit mieux?

comment montrez vous que f=g ssi f et g ont le même graphe avec f:E->F et g:E->F (c'est qu'en exhibant x les images sont les même mais bon rigoureusement? )

Merci d'avance

par **fahr451** » 20 Jan 2007, 00:14

A ayant un antécédent a, A = f(a) et que dire de a?

par **sandrine_guillerme** » 20 Jan 2007, 00:17

bah ché pas mais a a une image par f ?

par **fahr451** » 20 Jan 2007, 00:18

c'est justement le A que tu as défini

et si a est dans A problème

et si a n 'est pas dans A problème également.

par **sandrine_guillerme** » 20 Jan 2007, 00:20

pourquoi donc ce problème ? moi je n'en vois pas et j'en cherche pas d'ailleurs lol

par **fahr451** » 20 Jan 2007, 00:24

si a est dans A alors par définition de A a n'est pas dans f(a) = A impossible

et si a n'est pas dans A , par définition de A a est dans f(a) = A impossible

conclusion une telle f (surjective) n 'existe pas.

par **sandrine_guillerme** » 20 Jan 2007, 00:29

D'accord merci et pour l'autre question stp?

par **fahr451** » 20 Jan 2007, 00:33

deux applications sont égales ssi elles ont meme ensemble de départ même ensemble d 'arrivée et même graphe ce qui est precisément même "valeur" en tout point
pour tout x de E f(x) = g(x)
que dire de plus ?

par **sandrine_guillerme** » 20 Jan 2007, 00:37

En fait , l'implication directe est évidente mais la réciproque je la ferais ainsi:

Soit x dans E.
Montrons que f(x)=g(x).

(x,f(x)) est dans le graphe de f, donc dans le graphe g, ainsi il existe y dans E tel que (x,f(x))=(y,g(y))

Cette égalité assure que x=y et donc f(x)=g(y)=g(x), d'où le résultat.

Correct?

par **fahr451** » 20 Jan 2007, 00:39

absolument

donc on "sait ça" maintenant: même graphe c'est mêmes valeurs partout cool:)

par **sandrine_guillerme** » 20 Jan 2007, 00:42

Ok sinon toi tu voulais dire quoi ici ?

fahr451 a écrit:deux applications sont égales ssi elles ont meme ensemble de départ même ensemble d 'arrivée et même graphe ce qui est precisément même "valeur" en tout point
pour tout x de E f(x) = g(x)
que dire de plus ?

par **fahr451** » 20 Jan 2007, 00:43

moi rien j'essayais d'aider:)

par **sandrine_guillerme** » 20 Jan 2007, 00:45

Non je veux dire ce que j'ai dis c'est bien ce que tu voulais dire toi? non ?

par **fahr451** » 20 Jan 2007, 00:46

oui oui oui ( je répète car faut 10 caractères minimum)

par **sandrine_guillerme** » 20 Jan 2007, 00:48

Merci beaucoup fahr451

par **sandrine_guillerme** » 20 Jan 2007, 01:17

ah bah tiens tiens, j'ai peut être une autre question ,
soient A et B deux parties disjointes d'un même ensemble E.
X->(Xinter A, Xinter B ) est une bijection de P(A union B ) dans P(A)xP(B) (tu vois comment le démontrer ça? ) et quel est la bijection réciproque ?

par **fahr451** » 20 Jan 2007, 01:19

l 'application réciproque est
(X,Y) ->XUY

par **sandrine_guillerme** » 20 Jan 2007, 01:21

Merci oui c'est tout simple en effet, mais comment tu montres la bijection ,

commencons par l'injection Si X est une partie de A U B Alors on a X = X inter (A U B )
Mais bon après stp?

par **fahr451** » 20 Jan 2007, 01:22

en fait puisqu'on a l 'application éciproque g

il suffit de vérifier que f°g = id
et g°f = id

par **fahr451** » 20 Jan 2007, 01:24

si on veut montrer l 'injectivité de f toute seule

on prend X et X' dans AUB

telles que f(X) = f(X')

donc Xinter A = X' inter A et X inter B = X' inter B

or Xinclus dans AU B donc X = Xinter ( AuB) = (XinterA )U (X inter B)

idem pour X ' donc X = X '

Application

Application

Qui est en ligne