Application linéaire1

[Jjl]

Bonjour,
J'ai tenté de faire cet exercice:
Exercice 1
Montrer que les applications suivantes sont linéaires:
1. f : R ;) R définie par f(t) = 3t
2. g : R
2 ;) R
2 définie par g(x, y) = (2x + y, x ;) y)
3. h : R
2 ;) R
3 définie par h(x, y) = (x, x + 2y, x ;) y)

Dans le cas 1 je sais que pour montrer qu'une application est linéaire,il faut montrer que f(u+w)=f(w)+f(u) et f(lambda*u)=lambda*f(u).
Donc ça donne: f(u+v)= 3u+3v=f(u)+f(v) mais pour les autre cas c'est différent je ne vois pas comment faire .

[zygomatique]

salut

g(x + u, y + v) = ....

g(kx, ky) = ...

[wserdx]

Bonjour,
J'ai tenté de faire cet exercice:
Exercice 1
Montrer que les applications suivantes sont linéaires:
1. f : R R définie par f(t) = 3t
2. g : R
2 R
2 définie par g(x, y) = (2x + y, x y)
3. h : R
2 R
3 définie par h(x, y) = (x, x + 2y, x y)

Dans le cas 1 je sais que pour montrer qu'une application est linéaire,il faut montrer que f(u+w)=f(w)+f(u) et f(lambda*u)=lambda*f(u).
Donc ça donne: f(u+v)= 3u+3v=f(u)+f(v) mais pour les autre cas c'est différent je ne vois pas comment faire .

:hum: Pour parler d'application linéaire, il faut avoir en tête que les ensembles de départ et d'arrivée de la fonction ont une structure d'espace vectoriel. As-tu bien saisi ce qu'implique le fait que et puissent être munis d'une structure de R-ev ?
Ce qui déroute un peu, quand on écrit g(x,y), c'est qu'on veut dire g(X) où X est un "vecteur" de R^2 et donc on pense implicitement X=(x,y), c'est-à-dire que x et y sont les coordonnées de X.
Si X=(x,y) et Y=(u,v), vois-tu ce que vaut a*X+Y ?

[Jjl]

:hum: Pour parler d'application linéaire, il faut avoir en tête que les ensembles de départ et d'arrivée de la fonction ont une structure d'espace vectoriel. As-tu bien saisi ce qu'implique le fait que et puissent être munis d'une structure de R-ev ?
Ce qui déroute un peu, quand on écrit g(x,y), c'est qu'on veut dire g(X) où X est un "vecteur" de R^2 et donc on pense implicitement X=(x,y), c'est-à-dire que x et y sont les coordonnées de X.
Si X=(x,y) et Y=(u,v), vois-tu ce que vaut a*X+Y ?

Ah oui bien sûr! je vois tout de suite,merci pour ton aide je post la réponse plus tard(voir demain vu que je ne suis pas en france).

[Jjl]

Ah oui bien sûr! je vois tout de suite,merci pour ton aide je post la réponse plus tard(voir demain vu que je ne suis pas en france).

Pour le 2,on peut écrire que g(u,u)=(3u,0) et g(v,v)=(3v,0) et g(u+v,u+v)=(3u+3v,0)=g(u,u)+g(v,v), ensuite g(;)u,;)u)= (3u,0)=;)*g(u,u) donc l'application est linéaire.

Pour le 3 définie par h(x, y) = (x, x + 2y, x y);on fait la même chose ,donc h(u,u)=(u,3u,0) et h(v,v)=(v,3v,0) ensuite h(u+v,u+v)=(u+v,3u+3v,0)=h(u,u)+h(v,v) et h(;)u,;)u)= *(u,3u,0)=(;)u,;)3u,0)=;)*h(u,u).
Donc l'application est linéaire,mais si je me trompe,veuillez me le dire.

[wserdx]

Pas tout à fait, il faut comparer
g((x,y)+(u,v)) à g((x,y)) + g((u,v))
ainsi que
g(a.(x,y)) et a.g((x,y))
J'ai l'impression que tu n'as pas bien saisi ma remarque précédente. Revois la définition d'application linéaire et espace vectoriel.

[Jjl]

Pas tout à fait, il faut comparer
g((x,y)+(u,v)) à g((x,y)) + g((u,v))
ainsi que
g(a.(x,y)) et a.g((x,y))
J'ai l'impression que tu n'as pas bien saisi ma remarque précédente. Revois la définition d'application linéaire et espace vectoriel.

Oui je n'ai pas bien saisi.

[zygomatique]

X = (x, y) et U = (u, v)

g(X + U) = ...

g(aX) = ....

[Jjl]

X = (x, y) et U = (u, v)

g(X + U) = ...

g(aX) = ....

Ok merci pour ton aide.