Application étale

[checkmaths]

Bonjour, je suis en train de faire un exercice tiré d'un ancien examen de Calcul Différentiel que voici :

Considérons la fonction définie par .

1. Montrer que est et calculer sa différentielle.

est car c'est la composée d'une application bilinéaire et d'une application linéaire .


Ok ! Ici pas de problème, c'est facile !

2. Montrer que l'ensemble des points où est étale peut s'écrire où est l'ensemble des matrices anticommutant avec .

Si j'ai bien compris, , ce n'est évidemment pas possible !! L'énoncé serait-il donc faux ou n'ai-je pas compris l'énoncé ? Pourriez-vous m'aiguiller svp ?

[Skullkid]

Bonsoir, deux matrices A et B anticommutent si AB = -BA.

[checkmaths]

Ok merci bcp, mais pour montrer que est étale, je dois montrer que , ou montrer que , ou bien montrer que via une majoration de . J'ai essayé l'une de ces méthodes, je ne trouve jamais la bonne réponse pour ...
Pourriez-vous m'aider svp ?

[zygomatique]

salut

ça veut dire quoi que f est étale ?

[Skullkid]

f est étale en a si elle est différentiable en a et df(a) est un isomorphisme.

Ici tu connais df(A) explicitement, et sa forme est plutôt simple, il y a donc de bonnes chances que tu t'en sortes en regardant son noyau (c'est-à-dire la deuxième piste que tu proposes) !

[checkmaths]

Merci bcp, on fait donc comme ci-dessous :


Donc .
Donc .
Alors , est linéaire injective de dans alors est bijective donc inversible.
Par suite , est étale en A.