Application conjuguée

[WhiteShadow]

Bonjour!

Pour la rédaction de ma thèse, je bloque sur une définition. Impossible de me rappeler exactement ce que cela signifie et impossible de trouver une définition claire sur le net. Voilà pourquoi je vous demande votre aide.

On me demande de montrer qu'un élément du groupe A est conjugué à un élément du groupe B. Qu'est-ce que ça veut dire???

Je travail dans le demi plan dit de Poincaré, c'est-à-dire le demi plan de dont les images sont strictement positive, avec la métrique riemanienne , où et le plan tangent... si ça peut vous aider.

Merci d'avance!

[Doraki]

Dans un groupe G, si a et b sont dans G, a est conjugué à b <=> il existe c dans G tel que ac = cb.

[WhiteShadow]

Super merci Doraki!

Quand tu écris ac=cb, j'imagine que tu veux dire , c'est juste?

[Doraki]

Non. Est-ce que tu as utilisé le mot "groupe" pour une bonne raison ? ou est-ce que c'est un mot que tu as mis comme ça au hasard ?

A part dans les groupes, la conjugaison peut aussi désigner la conjugaison complexe, le R-automorphisme de C qui est non trivial : l'application qui à (x+iy) associe (x-iy). Cette opération se retrouve aussi dans tout un tas de contextes relatifs aux complexes (par exemple il y a une opération de conjugaison dans l'espace tangent à un point du demi-plan de Poincaré)

Pour le moment comme tu n'as donné absolument aucun exemple concret d'utilisation de la conjugaison auquelle tu as affaire, j'ai bien peur qu'il soit impossible de lire dans tes pensées pour découvrir de laquelle il s'agit.

[WhiteShadow]

Non, je parlais bien du conjugué de groupe. Je travail avec les groupes fuchsiens. De plus, comme je travail dans le demi-plan supérieur de , le conjugué complexe ne m'intéresse pas.

Pour l'exemple, cela me semblait un peu compliqué, mais je vais du coup quand même vous le présenter. Si tu n'as pas le courage de le lire, je ne t'en voudrai pas! :ptdr:


Comme précité, je travail dans le demi-plan de Poincaré avec la métrique riemanienne vu plus haut. Je m'intéresse aux groupe des homographies:

, on pose tr(g)=a+d la trace de g.

Maintenant, je prends un sous-groupe discret:




Mon but est de montrer que pour , alors on a:

est conjugué dans à un élément de

où abs(tr(g)) est la valeur absolue de la trace de g.

[WhiteShadow]

Je viens de modifier mon message, j'avais fait des erreurs, désolé.

[Doraki]

dans les définitions de G et de K, a, b (et c,d) sont des réels ou des entiers ?

[WhiteShadow]

Réels, pardon.

[Doraki]

Ok donc là K n'est pas un sous-groupe discret.

Et tu dois montrer que pour tout homographie g(z) = (az+b)/(cz+d) avec ad-bc = 1,
si |a+d| <= 2 alors il existe une homographie f(z) (dans G) et une (unique) homographie r(z) dans K telles que g(f(z)) = f(r(z)).

Déjà, tu as forcément tr(r) = tr(f), ce qui détermine quasiment r.



K est le groupe des homographies qui fixent i. En particulier, si r est dans K, sa différentielle en i est une rotation de l'espace tangent en i par un angle ;), et la correspondance r <-> ;) est un isomorphisme de groupes entre K et R/2;)Z. (Tu peux facilement exprimer cos(;)) et sin(;)) en fonctions des coefficients a et b de R)

Si g est conjugué à un élément r de K correspondant à ;), ça veut dire que g a 1 point fixe z, et que la différentielle de g en z est la rotation d'angle ;). Et l'homographie f qui passe de r à g est une homographie qui envoie i (le point fixe de r) sur z (le point fixe de g).

Donc il te reste à étudier l'équation g(z)=z et voir qu'effectivement, elle a 1 solution dans le demi-plan de Poincaré (c'est-à-dire 2 solutions complexes conjuguées dans C) si et seulement si tr(g)² <= 4.

[WhiteShadow]

Super!

Un grand merci Doraki, je peux bien avancé avec ça.

J'ai encore une petite question. Je pense que c'est juste un petit détail que j'arrive pas à voir et la question est sûrement bête, mais bon...

Comment est-ce que tu peux dire que tr(r) = tr(f)?

Merci d'avance et merci pour toute ton aide!

[Doraki]

La trace (et plus généralement, le polynôme caractéristique tout entier) est invariante par conjugaison :

tr(AB) = tr(BA), donc :
si g = f r f-1, tr(g) = tr(f r f-1) = tr ((f r) f-1) = tr(f-1 (f r)) = tr((f-1 f) r) = tr(r).

[WhiteShadow]

Ah d'accord!

Donc c'est bien Tr(g) = Tr(r) et non pas Tr(f) = Tr(r)?

Là je suis tout-à-fait d'accord! Merci beaucoup encore pour tout!

A bientôt!

[WhiteShadow]

Rebonjour!

Après une longue absence, je me remets au travail! En reprenant mes actions conjuguées, je bloque sur une explication de Doraki, que l'on trouve un peu plus haut:

"Si g est conjugué à un élément r de K correspondant à ;), ça veut dire que g a 1 point fixe z, et que la différentielle de g en z est la rotation d'angle ;). Et l'homographie f qui passe de r à g est une homographie qui envoie i (le point fixe de r) sur z (le point fixe de g)."

Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer comment on peut arriver à cette conclusion? Est-ce une propriété des conjugués, du genre: Deux éléments sont conjugués si et seulement s'ils ont le même nombre nombre de point fixe?

Merci beaucoup, je suis perdu!

[Doraki]

Deux trucs conjugués partagent souvent certaines propriétés.

En l'occurence, si r et g sont conjugués par une homographie f (gf = fr),
et si z est un point fixe de r, alors g(f(z)) = f(r(z)) = f(z), donc f(z) est un point fixe de g.
Réciproquement si z est un point fixe de g, f-1(z) est un point fixe de r.

Dans ton cas, i est l'unique point fixe de r (sauf si r est l'identité), donc si g n'est pas l'identité et est conjuguée à un élément de K, g a aussi un unique point fixe f(i).

Ensuite tu as même une correspondance plus précise quand tu regardes les choses localement autour des points fixes : la dérivée de g en f(i) est égale à la dérivée de r en i (tu écris g = frf-1, tu développes g'(f(i)) et tu simplifies)

Comme r est déterminé par r'(i), si tu sais que g a un unique point fixe et si tu connais sa dérivée en ce point, ça te donne un unique candidat pour r à qui g pourrait être conjugué.

[WhiteShadow]

Je ne sais pas si tu maîtrise les autres domaines des maths comme la géométrie, mais déjà là, chapeau!!

Par contre, (Vraiment désolé!!) même si ces explications me permettent d'y voir bien plus clair, je reste bloqué sur un point.

Si j'ai bien compris, tu me conseilles de trouver r et f en fonction de g pour avoir g(f(x)) = f(r(x)) et démontrer ainsi qu'il existe bien f et r comme on le souhaite.


Du coup, en posant et partant du fait que TR(r) = TR(g)= a+d et que r est de la forme j'ai obtenu:


, où




Maintenant, il me reste à trouver f.
Je sais que qui est le point fixe de g. Comme d+a<2, ma racine donne un nombre complexe, égal à

Je peux donc obtenir



Mais à ce moment-là, j'ai deux soucis! Primo, f n'est pas une homographie et deuxio g(f(x)) = f(r(x)) n'est pas vérifiée... Aurais-tu encore un peu de patience pour m'indiquer si apparemment mon raisonnement est bon où si je m'égare?

En tout cas merci beaucoup, ton aide m'est vraiment très très précieuse!! :lol3:

[zygomatique]

salut

sans vouloir t'offenser il me semble qu'un thésard devrait être capable de faire le travail de Doraki tout seul ....

je suis totalement effaré de ce que je vois ....

[WhiteShadow]

J'ai fait un arrêt dans mes études d'un peu moins de 3 ans et je ne suis pas du tout familiarisé avec ces notions. Ajouté à une mémoire défailllante, j'ai effectivement quelques lacunes. Si c'est parmi les deux ou trois questions que j'ai sur l'intégralité d'une thèse, j'estime quand même que ce n'est pas catastrophique.

Mais je te présente toutes mes excuses de t'avoir effaré. Je ne me permettrai plus de poser des questions de peur de me faire humilié. C'est la base de la pédagogie d'ailleurs.

Mais merci de ton commentaire instructif.

[zygomatique]

que tu ait fais un arrêt dans tes études ou que tu ait oublié certaine choses ne me gène absolument pas ...

mais dans une certaine mesure un futur thésard va être amener à chercher à la pointe de la connaissance ou en tout cas travailler à la frontière du connu ....

et le travail doit être mené avec rigueur et précision :: voir post du 28/10/13 : de 9h56 à 11h 44 .... il n'y a aucune ambiguïté sur la notion de conjugaison quand on voit le mot "groupe" ....
puis ensuite exposé plus explicite de ton problème à 11h41 ...

ensuite tu as du acquérir une certaine autonomie intellectuelle et toujours dans une certaine mesure un bon nombre de travaux ont été mené sur les homographies ... il me semble que le travail aurait pu être un peu plus dégrossi de ta part ... il y a maintenant internet qui permet (mais si c'est pas toujours facile de trouver quelque chose parfois surtout dans certains domaines plus pointus) une recherche autonome ...

c'est surtout cela qui m'a "effaré" ... il n'y a aucune humiliation seulement je voulais te pointer ce problème de "méthode" qui me gène un peu pour quelqu'un de ton niveau ...

:lol3:

[WhiteShadow]

Si j'ai arrêté pendant ces trois ans, c'est en raison d'un cancer. Et je ne sais pas si tu connais l'impacte d'une chimio sur l'esprit... Comme tu peux le voir dans mes postes, j'ai déjà essayé de m'y remettre il y a un peu moins d'une année, mais je n'étais pas encore assez en forme.

N'ayant pas fait d'algèbre, je n'ai pas réussi à trouver les notions que je souhaitais sur le net. D'où ma question, qui me prend presque plus de temps que la rédaction d'une dizaine de pages.

Enfin bref, excuse-moi d'être susceptible sur ce sujet. Mais voir sa facilité en math être nettement diminuée est déjà assez pénible pour ne pas recevoir des remarques, qui a mon avis n'ont rien apporté, autant à moi qu'aux autres personnes du site. Je ne vois vraiment pas à quoi elle t'a servit: Je sais qu'une thèse doit pousser à la recherche individuelle et approfondie. Mais je ne sais même pas si j'ai encore les capacités pour un jour avoir mon doctorat.

Tu as même réussi à me faire chialer. Alors, s'il te plaît, si ce n'est pas pour répondre à ma question, laisse le topic et va aider d'autres personnes. Merci et encore désolé d'être sensible sur ce sujet. Je pense que tu peux comprendre.

[deltab]

Bonjour

Je peux donc obtenir

Si mon interprétation de "Je peux donc obtenir' est correcte, ceci laisse supposer qu'on peut avoir d'autres solutions pour , y en a-t-il? (si oui, tu as choisi la mauvaise). Lesquelles?