Analyse - limite

[raphitmts]

Bonjour,

Dans mon cours sur les limites, j'ai vu passer cette proposition :



Et cela, sans supposer de continuité. En fait à ce moment-là du cours on n'en parle même pas encore. J'ai essayé de démontrer ça de façon directe avec la définition métrique de limite, par l'absurde aussi, mais rien n'y fait. Est-ce que quelqu'un pourrait m'éclairer quant à la véracité de cette assertion et/ou me donner des pistes de démonstration ?

Merci d'avance et bonne journée.

[Ben314]

Salut,
A mon époque, la définition la plus fréquente (en France en tout cas) pour (avec définie sur une partie de , un point adhérent à et ) c'était ça :

Avec cette définition là, la proposition que tu cite est exacte : si alors, pour tout on a (vu que, quelque soit le correspondant au , on aura forcément lorsque ) donc on a vu que 0 est le seul réel plus petit que tout les .
Le problème, c'est que certains auteurs prennent une autre définition de limite (dite "épointée"), à savoir :

Et évidement, avec cette définition là de limites, ben la proposition que tu cite devient fausse.
(Pour ceux qui utilisent la première définition, cette deuxième définition correspond en fait à ce qui est souvent noté )