AIDE pour résolution d'un LAGRANGIEN

[brandonbaidon]

Bonjour à tous , je suis en première année de licence économie gestion, j'ai un problème pour déterminer les points candidats(critiques) du lagrangien pour optimiser une fonction par exemple :


opt. f(x,y)=x^2+4y^2 (opt.=optimiser)
s.c xy=2 ( s.c=sous contrainte)
f(x,y)=x^2+4y^2 et g(x,y)=xy-2 du coup f et g sont toutes deux de classe c^2 sur ensemble de définition=R^2
,ensemble ouvert et convexe. de plus a priori il n'est pas compact donc il faudra surement étudier la convexité et concavité de la fonction
du coup je regarde s'il est possible d'utiliser le Lagrangien en me servant de la contrainte
g'x(x,y)=y=0 g'y(xy)=x=0 ssi y=0 et ssi x=0 --> g(0,0)=-2≠0 ainsi la contrainte est qualifiée

L(x,y,λ)=x^2+4y^2+λ(xy-2)

(pts candidats)
L'x(x,y,λ)=2x+λy=0
L'y(x,y,λ)=8y+λx=0
L'λ(x,y,λ)=xy-2=0 puis je bloque ,on peut pas factoriser, ni substituer et si je multiplie ça se complique encore plus,ni diviser pas une des variable car il est possible qu'elle prenne 0 en valeur, quelqu'un pourrait m'aider a me guider j'ai besoin d'aide merci .

pout les curieux la matrice héssienne sera D^2f(x,y,λ)= 2 λ y
λ 8 x
y x 0

[Ben314]

Salut,

L'x(x,y,λ)=2x+λy=0
L'y(x,y,λ)=8y+λx=0
L'λ(x,y,λ)=xy-2=0
puis je bloque ,on peut pas factoriser, ni substituer. . .

Ah bon ?
C'est étrange parce que perso., j'aurais bien pensé que 2x+λy=0 on pouvait l'écrire x=-λ/2y qui permettait de substituer dans les deux autres...

Sinon, de façon générale, tu ne peut effectivement pas diviser sans précaution par une variable vu qu'elle peut prendre la valeur 0, mais rien ne t'empêche de distinguer deux cas selon que la variable est nulle (=cas particulier à traiter "à part") ou non nulle (cas dans lequel tu as parfaitement le droit de diviser par cette variable)

Bref, ici, tu peut parfaitement écrire que, si x est nul alors la troisième équation xy-2=0 ne peut être vérifiée donc il n'y a pas de solutions avec x nul et que, si x est non nul, alors l'équation xy-2=0 peut s'écrire y=2/x et tu substitue dans les deux autres. Sauf que souvent, on préfère fait des "distinction de cas" le plus tard possible, donc on commence en général par des substitutions qui ne demande pas à faire de division par un truc qui peut éventuellement être nul (mais évidement y'a aucune obligation).

[brandonbaidon]

mais du coup j'ai essayé (corrige moi si je me trompe):

L'x(x,y,λ)=2x+λy=0 (1)
L'y(x,y,λ)=8y+λx=0 (2)
L'λ(x,y,λ)=xy-2=0 (3)


2x+ λy=0 (1) --> (3) xy-2=0 y= √ (4/- λ) mais impossible vu qu'il y a -λ dans le radical ...
x=- λy/2

[brandonbaidon]

j'ai essayé de déterminer pour commencer x en fonction de y :
L'x(x,y,λ)=2x+λy=0 (1)
L'y(x,y,λ)=8y+λx=0 (2)
L'λ(x,y,λ)=xy-2=0 (3)

(3)--> x=2/y
(1) ---> λ=4/y^2
(2)--->8/y+8y=0 --->y-y=0 ...

[Ben314]

Je comprend franchement pas ce que tu bricole :
(1) 2x+λy=0
(2) 8y+λx=0
(3) xy-2=0
L'équation (1) équivaut à x=-λ/2y qui en substituant dans les deux autres donne :
(2') 8y-λ²/2y=0
(3') -λ/2y²-2=0
L'équation (2') équivaut à (8-λ²/2)y=0 c'est à dire y=0 ou bien λ²/2=8 mais y=0 donne une contradiction dans (3') donc on a forcément λ²=16 c'est à dire λ=4 ou bien λ=-4
Si λ=4, alors l'équation (3') équivaut à y²=-1 qui n'a pas de solution (dans R).
Si λ=-4, alors l'équation (3') équivaut à y²=1 donc y=1 ou bien y=-1 et, comme on doit prendre x=-λ/2y=2y, les deux solutions sont (x,y)=(2,1) et (x,y)=(-2,-1).

Pour t'entrainer, essaye de le faire en commençant par dire que (3) implique que x est forcément non nul et que y=2/x puis en substituant 2/x à y dans (1) et (2) : tu trouver évidement la même chose (avec peut être des calculs légèrement plus compliqués).

[Ben314]

2x+ λy=0 (1) --> (3) xy-2=0 y= √ (4/- λ) mais impossible vu qu'il y a -λ dans le radical ...
x=- λy/2

Par exemple, là où on voit qu'il faudrait un minimum revoir le B-A-BA concernant les calculs (élémentaires), c'est que :
- Tu ne peut pas diviser par -λ sans avoir au préalable justifié qu'il est non nul (i.e. traité le cas particulier λ=0).
- Le réel 4/(-λ), tout le monde l'écrit -4/λ
- L'équation y²=-4/λ n'équivaut pas à y=√(-4/λ) mais à y=√(-4/λ) ou bien y=-√(-4/λ) (lorsque -4/λ est positif)
- Le réel -4/λ peut bien évidement être positif : il suffit pour cela que λ soit négatif.

L'x(x,y,λ)=2x+λy=0 (1)
L'y(x,y,λ)=8y+λx=0 (2)
L'λ(x,y,λ)=xy-2=0 (3)

(3) => y est non nul et x=2/y
(1) => λ=-2x/y car on a déjà vu que y doit être non nul donc λ=-4/y^2
(2) => 8y+(-4/y²)(2/y)=0 => 8y-8/y^3=0 et absolument pas 8 /y+8y=0 qui, en plus, donnerais 1/y+y=0 qui n'a absolument rien à voir avec y-y=0 : le nombre 1/7+5, n'a franchement rien à voir avec 7-5 !!!!!

[brandonbaidon]

merci je vais commencer à revoir les calculs élémentaires j'en ai bcp besoin visiblement ,en tout cas super l'explication