Accroissements finis

[marawita1]

Bonsoir,
Soit
J'ai une fonction f définie sur U qui est de classe C^1, on a montré que pour tout (x,y) dans U
Après En déduire que f est 3-lipschitzienne?
Ici l'idée est clair, on va utiliser l'inégalité des accroissements finis.
Je pense que U n'est pas convexe (à confirmer par vous)!!!
Don on va utliser le résultat suivant: pour tout a, b dans U avec [a, b] C U, on a
|| f(b) - f(a) || <= || b- a||

Mais franchement je vois pas comment le faire!!!!

[remullen2000]

Bonsoir,

U est le disque ouvert unité du plan privé d'un point, ce qui le rend évidemment non convexe!
Tu connais l'expression de f où c'est purement théorique?

[marawita1]

On a

[remullen2000]

Si on pose x²+y²= R²

on a f(x,y)=R²cos(1/R)

Cette fonction d'une variable est dérivable et continue sur ]-1 1[ (on prolongeant par 0 en 0)

Donc on peut appliquer l'inégalité des accroissements finis pour cette fonction.
ça marche pas ça?

[Doraki]

C'est pas parceque 0 est sur le chemin le plus court allant de A à B que c'est fichu pour montrer |f(B)-f(A)| <= 3|B-A|.
Il suffit de dévier le chemin un tout petit peu, de passer juste à coté de 0, et tu obtiens |f(B)-f(A)| <= 3 (|B-A|+;)) pour ;) aussi petit que tu veux. Ce qui implique |f(B)-f(A)| <= 3 |B-A| quand même.

[marawita1]

@remullen: Je sais pas si ça marche ou pas!!!!

@Doraki: Franchement j'ai pas bien saisi votre argument, que dois-je faire pour répondre à cette question? il faut faire une discussion ou quoi?

[MouLou]

En utilisant ce que ditRemulien, Je dirais que si , alors .

Puisque A,0 et B sont alignés dans cet ordre, il est facile de voir que .

Pour avoir l'accroissement fini , je l'écrirais entre et puis

[MouLou]

Pour l'argument de Doraki, faut remarquer le fait suivant: si tu définies une distance géodesique comme étant la la longueur du plus court chemin joignant 2 points, alors l'inégalités des accroissements finis te donne encore la même chose pour un connexe par arcs:

Ici, ton ouvert est connexe par arc, et dans l'immense majorité des cas (segment ne contenant pas 0), ton plus court chemin est le segment.

Lorsque 0 est sur le segment, tu ne peux plus faire le segement, mais tu peux le deformer un tout petit peu autour de 0, rajoutant des distances epsilonesques pour epsilon aussi petit que tu veux. et donc la distance geodesique reliant 2 points A et B séparés par 0 est encore égale à

[marawita1]

Merci bien MouLou pour vos explications.

Tout d'abord, que représente le segment [A, B] sur R^2 avec A=(x,y) et B=(x', y')?

J'ai trouvé une correction de cet exercice, mais j'ai pas compris quelques passages:
Soient A=(x,y) et B=(x', y') dans U.

Premier cas: Si O=(0, 0) n'appartient pas à [A, B], alors [A, B]C U, et dans ce cas on utilise le T.A.F.
Ici je ne vois pas pourquoi [A, B]C U?

Deuxième cas: Si O appartient à [A, B]. Soit A_n=( x + 1/n, y), donc O n'appartient pas à [A_n, B] et on utilise le T.A.F et on trouve le résultat par passage au limite.

Ici tout d'abord est ce que A_n dans U pour tout n>= 1?

Après pourquoi O n'appartient pas à [A_n, B]??? j'ai fait des calculs mais j'ai pas réussi à prouver le résultat.

Merci d'avance.

[MouLou]

le segment [A,B] c'est comme au collège: tu traces un trait entre le point A et le point B. Et mathématiquement ca s'écrit .

Si ton ouvert U c'est la boule unité privée de l'origine, alors en voyant ca comme au college tu vois immediatement que si 0 n'est pas dans [A,B], alors [A,B] est inclus dans U, trace le dessin.

Pour la deuxième question, si 0 est dans [A,B], alors si tu bouge un petit peu le point A, mais pas dans la direction du segment [A,B], alors 0 n'est plus dans ce segment, Pareil, fais un dessin.

Cela dit je ne suis pas d'accord que bouger dans la direction x marche a tous les coups (si y=0 ca marche pas, fais un dessin :p).

[Doraki]

Leur traitement du 2ème cas ne marche pas si y=0 ... mais bon ...

[Ben314]

Pour l'argument de Doraki, faut remarquer le fait suivant: si tu définies une distance géodesique comme étant la la longueur du plus court chemin joignant 2 points...

Faire gaffe quand même que le "plus court chemin", ben y'a de forte chance qu'il existe pas.
Par exemple ici avec U égal au disque unité privé de O, il n'y a pas de "plus court chemin dans U" pour aller d'un point a son opposé.
Donc ta définition de "distance géodésique de A à B" est à remplacer (avantageusement.... :lol3: ) par "la borne inférieure des distances des chemins allant de A à B" (qui elle existe forcément)

Sinon, concernant "l'argument de Doraki", perso (et je pense que lui aussi...), plutôt que de déplacer le point d'arrivé, j'aurais plutôt utilisé un chemin formé de DEUX segments de façon à légèrement contourner le point O : ce chemin peut clairement être rendu aussi proche que l'on veut (en terme de longueur) du segment passant par O.

[marawita1]

Bonjour,
En suivant vos arguments, je réponds comme suit:

Si O n'est pas dans [A, B]-----> pas de problème, j'utilise directement le T.A.F.

Si O appartient à [A, B], alors soit Z dans U avec O

Dans ce cas on a

|| f(A)- f(B)|| <= ||f(A) - f(Z)|| + || f(B)- f(Z)||

<= 3 ( ||A -Z|| + || B - Z||), et

On tend Z vers O, on trouve que || f(A)- f(B)|| <= 3 (||A|| + ||B||)
Puisque A,0 et B sont alignés , on a .
D'où le résutat.

C'est correct?