Abba / abab

[wserdx]

Voilà, j'ai fait les calculs.
Les résultats sonts les suivants:
Votre choix / Choix adversaire / Probabilité de gain de l'adversaire
PPP FPP 7/8
PPF FPP 3/4
PFP PPF 2/3
PFF PPF 2/3
FPP FFP 2/3
FPF FFP 2/3
FFP PFF 3/4
FFF PFF 7/8
Pour réaliser ces calculs, j'ai pris tous les couples de choix possibles et sélectionné celui qui maximise le gain de l'adversaire.
Pour un couple donné, il suffit de calculer 8 variables, correspondant à votre probabilité de gain selon les 8 tirages possibles.
En effet, le jeu n'est pas très équitable!

[Ben314]

J'ai paumé le papier où j'avais fait les calculs dans le temps, mais il me semble que c'est aussi ce que j'avais trouvé.
A l'époque, le résultat m'avais... étonné... (le fait qu'il n'y ait pas de relation d'ordre sur les 'triplets')

Dans le même livre, il y en avait un autre plus simple (niveau lycée) du même accabit : on vous propose de jouer au dés avec les dés suivant :
Rouge : Faces = 3 3 3 3 3 3 (dés vachement aléatoire !!!)
Jaune : Faces = 5 5 2 2 2 2
Vert : Faces = 1 1 4 4 4 4
Vous choisisez un dés, puis l'adversaire choisi le sien, puis chacun lance son dés et celui qui fait le meilleur score gagne la mise...

[Pafapafadidel]

Tu peut préciser comment tu as fait tes calculs? En prenant le 2eme cas comme exemple par exemple. Comme tu le dis sa a l'air super simple mais je ne vois pas comment tu as fait.

[Ben314]

Je sais pas comment il a fait, mais je peut te dire comment j'avais fait.
On note les probabilités qu'au n-ième tirage les deux dernier lancés ait donné respectivement PP, PF, FP, FF.
On part évidement de
Puis on écrit la 'matrice de transition' M qui permet de passer de à .
ATTENTION, cette matrice dépend du choix des deux joueurs : si l'un des deux à choisi PFF alors si les deux dernier tirages sont PF, il y a une proba de que l'on passe à (P)FP et une proba de que le jeu s'arrête avec le gain du joueur.
Il n'y a plus qu'à faire un joli calcul pour évaluer les proba de gain de chaque joueur : au départ ces proba sont de la forme mais avec un peu d'algèbre linéaire, on peut nettement simplifier la formule...

P.S. : il me semble me rapeller que si on rajoute deux variables donnant la proba que le joueur 1 (respectivement 2) ait déja gagné avant le tirage , on a une matrice 6x6, mais la partie "algèbre linéaire" marche évidement beaucoup mieux (la somme des proba reste alors égale à 1) et la proba que le joueur 1 gagne se 'lit' dans la limite de lorsque n tend vers l'infini...

P.S. : vu son post, je me demande si wserdx n'a pas une méthode plus simple...

[wserdx]

Ma méthode est à peine plus simple, et j'ai à peine triché puisque j'ai fait les calculs sur un calculateur algébrique.
Les calculs reviennent un peu au même, mais j'ai considéré a priori les probabilité de gain pour une séquence de longueur 3 donnée. Sur ces 8 probas, 2 sont connues (celle où on gagne, et celle où on perd) et il me reste un système linéaire dont les 6 autres inconnues sont solution.
Voici le lien du calculateur:
magma calculator
et le programme:

Code: Tout sélectionner

Q:=RationalField();
n:=3;
I:=[1..2^n];
v:=[Q!0: i in I];
v[1]:=1/2;
v[2]:=1/2;
M:=Transpose(Matrix([Rotate(v,2*i-2):i in I]));
for i in I do
tmin:=2^(n-1);
jmin:=0;
for j in [j:j in I|not j eq i] do
K:=[k:k in I|k notin [i,j]];
m:=Submatrix(M,K,K);
mm:=Parent(m)!1-m;
v0:=Vector([M[i][k]:k in K]);
v1:=v0*mm^-1;
t:=&+[v1[k]:k in [1..2^n-2]];
if t lt tmin then tmin:=t; jmin:=j; end if;
end for;
i,jmin,1-(1+tmin)/2^n;
end for;