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Démonstration : on résout l'équation z^n=z_0 d'inconnue z=r e^{i \theta} sous forme exponentielle. On obtient le système \left\{\begin{array} { l } { r ^ { n } = r _ { 0 } } \\ { n \theta \equiv \theta _ { 0 } \quad \operatorname { m o d } 2 \pi } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} ...

Donne la solution : \frac{\pi}{2} \int-2 \cdot 2 t \cdot\left(t^2-1\right)^{-3} \cdot\left(t^3+t\right) \begin{aligned} & \text { on a : } \\ & f(x)=\frac{t(x) g^{\prime}(x) \cdot h x=}{\left(t^2-1\right)^3} \quad f(x) \cdot g(x)...

\sum_{c \in \mathbf{F}_q} f(c)^{t p^{\prime}}=\left(\sum_{c \in \mathbf{F}_q} f(c)^t\right)^{p^{\prime}} Nous obtenons \sum_{c \in F_q} f(c)^t=0 pour 1 \leqslant t \leqslant q-2 , et cette identité est trivialement vérifiée pour t=0 . Le lemme 7.3 implique que f est ...

Un nombre de Fermat est un entier naturel pouvant s'écrire sous la forme 2^{2^{\prime \prime}}+1 avec n \in \mathbb{N} . On note F_n un tel nombre. Autrement dit, F_n=M_{2^n} (nombre de Mersenne d'indice 2^n ). On se propose d'étudier ici quelques propriétés des nombres de Fermat. Partie A - Une con...

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (\mathcal{O}, \vec{u}, \vec{v}) . On pose : \quad P(z)=z^6-12 z^4+36 z^2-81 \quad ; \quad \forall z \in \mathbb{C} Déterminer les nombres \alpha et \beta tels que : (\forall z \in \mathbb{C}) ; P(z)=\left(...

Soit la matrice D=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -2 & -1\end{array}\right) . Résoudre dans \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) l'équation d'inconnue M suivante : (E) : D \times M=M \times D Soit S l'ensemble des solutions de l'équation (E). Montrer que : (\forall M \in S),\lef...

Exercice 3 Soit n \in \mathbb{N}^* , E=\mathbb{R}_n[X] l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus n , et l'application f définie par : f:\left\{ \begin{array}{l} E \rightarrow E \\ P \mapsto Q \text{ où } Q: x \in \mathbb{R} \rightarrow x P^\prime(x) \end{array} \right. 1. Vérifier qu...

UNIVERSITÉ DE PERPIGNAN L1 - Algèbre Linéaire 2 CONTRÔLE TERMINAL durée 2 h (i) thai 2022 Aucun document ( 2^{\text{ème}} semestre pour les tiers temps) autorisé On considère l'application linéaire f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 Exercice 1 dont la matrice exprimée dans la base canonique es...

2. APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1. Définitions. Définition 2.1. Soient E et F deux \mathbb{K} -espaces vectoriels. Une application f de E dans F est une application linéaire si pour u, v deux vecteurs de E et a, b deux scalaires de \mathbb{K} quelconques, on a : f(a \cdot u + b \cdot v) = a \cdo...

La fonction f_a n'est pas isomorphe lorsque a = -1 . Pour le voir, remarquons que le déterminant de la matrice jacobienne de f_a est donné par \det \begin{pmatrix} 3 & 1 & a \\ 6 & 4 & 7 \\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} = 103 - 24a . Lorsque a = -1 , le déterminant est nul, ce qui ...

2. APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1. Définitions. Définition 2.1. Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels. Une application $f$ de $E$ dans $F$ est une application linéaire si pour $u, v$ deux vecteurs de $E$ et $a, b$ deux scalaires de $\mathbb{K}$ quelconques, on $a$ : $$ f(a . u+b . ...

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