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oups je dois pas être bien réveillé

Bonjour je comprends intuitivement pourquoi lim xsinx pour x qui tend vers l'infini n'existe pas et je sais le démontrer avec deux sous suites mais pourquoi n'est-il pas valide d'écrire lim xsinx = lim sinx/(1/x) et par le théorème des gendarmes en conclure que cela converge vers 0 ? Merci d'avance ...