Loi binomiale

par **aeris** » 20 Nov 2013, 16:27

Bonjour à tous ! Personne ne me répond côté LYCEE peut être est-ce trop compliqué ? je tente ma chance ici !

Je viens d'entamer ce nouveau cours, avec tout le "blabla" de la loi binomiale, qui n'est pas très compliqué en soit si l'on suit bien la méthode.
Seulement, je n'arrive pas à trouver la logique et donc la réponse de la dernière question de l'exo suivant :

Une boîte contient 8 jouets ayant des formes et des couleurs différentes :
1 cube rouge
3 boules rouges
2 cubes verts
1 boule verte
1 boule jaune
Un enfant choisit au hasard et simultanément 3 jouets de la boîte. (la probabilité de tirer un jouet est indépendante de sa forme et sa couleur). Les résultats sont attendus sous forme de fraction irréductibles.
1/ On note les événements suivants :
A : "n'obtenir aucune boule" B : "obtenir une seule boule" S : "Obtenir au plus une boule"
Vérifier que la probabilité de S est égale à 2/7
2/ L'enfant répète n fois l'épreuve "tirer simultanément trois jouet de la boîte" en remettant dans la boîte les jouets tirés. Les tirages sont indépendants.
On appelle Y la variable aléatoire qui à l'issue des n épreuves, associe le nombre de fois ou S est réalisé.
a/Déterminer la loi de probabilité de Y
b/Déterminer l'espérance mathématiques de Y et sa variance en fonction de n.
c/On note Pn la probabilité que l'événement S soit réalisé au moins une fois. Déterminer Pn en fonction de n, en déduire le plus petit entier n tel que Pn >= 0.99

Voilà l'énoncé.
Sans mettre tout le blabla, j'ai trouvé :
1/
P(S) = P(A) + P(B) = (1/56) + (15/56) = (16/56) = (2/7)
2/
a/ Paramètre de la loi binomiale : n=n et p=2/7
b/ E(Y)= (2n)/7
V(Y)= (10n)/49
c/ ?????

La dernière question reste pour moi un mystère... quelqu'un peut-il m'aider ?

Merciiii

par **Sylviel** » 20 Nov 2013, 16:40

C'est un grand classique en proba "combinatoire" : quand on te demande une proba qui prends beaucoup de cas regarde si la proba de l'évènement complémentaire n'est pas plus simple à calculer !

Quel est le complémentaire de "l'évènement S est réalisé au moins une fois" ?
Quel est sa proba ?
Quel lien avec la question ?

par **aeris** » 21 Nov 2013, 10:56

Sylviel a écrit:C'est un grand classique en proba "combinatoire" : quand on te demande une proba qui prends beaucoup de cas regarde si la proba de l'évènement complémentaire n'est pas plus simple à calculer !

Quel est le complémentaire de "l'évènement S est réalisé au moins une fois" ?
Quel est sa proba ?
Quel lien avec la question ?

Merci Sylviel pour ta réponse j'avais aussi essayer de raisonner comme cela mais rien n'y fait :mur:

par **Sylviel** » 21 Nov 2013, 10:57

Tu n'arrives pas à répondre à la première de mes questions ?

par **aeris** » 21 Nov 2013, 12:07

Sylviel a écrit:Tu n'arrives pas à répondre à la première de mes questions ?

Ce qui me gêne c'est que l'événement S prend déjà en compte plus événements.
Après pour la 1ère question s'il juste de prendre en compte l'inverse de P(S), c'est 1-P(S), donc 5/7 ?
Mais je ne vois pas où cela va nous mener.. c'est bien ça le problème...

par **Sylviel** » 21 Nov 2013, 12:17

Je t'ai posé trois questions bien précises auxquelles je suggère que tu réfléchisses plutôt que de dire "vu de loin ça à l'air compliqué et je n'y arrive pas".

Je récapitule : tu fais N tirages. A chaque tirage un évènement appelé S peut se réaliser.

Quel est l'évènement complémentaire de
"sur N tirages l'évènement S est réalisé au moins une fois" ?

par **aeris** » 21 Nov 2013, 13:06

Sylviel a écrit:Je t'ai posé trois questions bien précises auxquelles je suggère que tu réfléchisses plutôt que de dire "vu de loin ça à l'air compliqué et je n'y arrive pas".

Je récapitule : tu fais N tirages. A chaque tirage un évènement appelé S peut se réaliser.

Quel est l'évènement complémentaire de
"sur N tirages l'évènement S est réalisé au moins une fois" ?

Dsl mais je ne vois pas ce que tu veux dire par événement complémentaire. Si c'est une partie de leçon je ne l'ai pas encore vu.

par **Sylviel** » 21 Nov 2013, 13:23

Si si tu l'as vu. L'évènement complémentaire c'est l'évènement contraire. L'évènement contraire de A tu l'as sans doute noté

.

Si tu tires une pièce à pile ou face l'évènement contraire de "la pièce tombe sur Pile" c'est "la pièce tombe sur face".

Si tu tires 2 pièce, l'évènement contraire de "les deux pièces tombent sur Pile" c'est "une pièce tombe sur Face et l'autre sur Pile OU les deux tombent sur face" qui peut se réécrire "au moins une pièce tombe sur Face".

par **aeris** » 21 Nov 2013, 13:45

Sylviel a écrit:Si si tu l'as vu. L'évènement complémentaire c'est l'évènement contraire. L'évènement contraire de A tu l'as sans doute noté .

Si tu tires une pièce à pile ou face l'évènement contraire de "la pièce tombe sur Pile" c'est "la pièce tombe sur face".

Si tu tires 2 pièce, l'évènement contraire de "les deux pièces tombent sur Pile" c'est "une pièce tombe sur Face et l'autre sur Pile OU les deux tombent sur face" qui peut se réécrire "au moins une pièce tombe sur Face".

Ha oui ! effectivement lévénement contraire je connais.
Du coup pour répondre à ta question, l'événement contraire de "sur N tirages l'événement S est réalisé au moins une fois" serait " sur N tirages l'élément S n'est pas réalisé" ?

par **Sylviel** » 21 Nov 2013, 14:09

Voilà, peux tu en déterminer la probabilité ? Pour cela il faut traduire la phrase
" sur N tirages l'élément S n'est jamais réalisé" en évènement plus élémentaires relié par ET.

par **aeris** » 21 Nov 2013, 16:08

Sylviel a écrit:Voilà, peux tu en déterminer la probabilité ? Pour cela il faut traduire la phrase
" sur N tirages l'élément S n'est jamais réalisé" en évènement plus élémentaires relié par ET.

Je suis désolé, je n'y arrive pas.
Je n'arrive pas à retranscrire mathématiquement le "sur n tirage".
"l'élément S ne soit jamais réalisé" c'est bien le contraire de Pn ? pas le contraire de P(S) de la question 1/ ? je suis en train de tout confondre...

par **Sylviel** » 21 Nov 2013, 16:21

Donc E="S n'est jamais réalisé" ça s'écrit
"S n'est pas réalisé au premier tirage"=E1
ET "S n'est pas réalisé au second tirage"=E2
ET "S n'est pas réalisé au troisième tirage"=E3
ET ...
ET "S n'est pas réalisé au Nème tirage"=EN

Quel est la probabilité de E1 ? de Ei (pour n'importe quel i) ?
Que sais tu sur le lien entre ces différents évènements ?
Donc comment calculer P(E) à partir de P(Ei) ?

par **aeris** » 21 Nov 2013, 17:17

Sylviel a écrit:Donc E="S n'est jamais réalisé" ça s'écrit
"S n'est pas réalisé au premier tirage"=E1
ET "S n'est pas réalisé au second tirage"=E2
ET "S n'est pas réalisé au troisième tirage"=E3
ET ...
ET "S n'est pas réalisé au Nème tirage"=EN

Quel est la probabilité de E1 ? de Ei (pour n'importe quel i) ?
Que sais tu sur le lien entre ces différents évènements ?
Donc comment calculer P(E) à partir de P(Ei) ?

Je ne suis pas du tout sûr de moi : soit S est réalisé, soit il ne l'est pas, donc :
P(E1) = P(E2) = P(E3) .... = 1/2
Donc P(Ei)=1/2 ?

par **aeris** » 21 Nov 2013, 17:19

Non ça n'a pas de sens! pfff
Je te remercie Sylviel mais je crois que je n'y arriverais pas !
Tant pis et merci quand même

par **Sylviel** » 21 Nov 2013, 17:24

Si tu peux y arriver il faut juste essayer de se concentrer un peu.

E1 : "à la première expérience S ne se réalise pas",
donc
P(E1)=1-P(S)= 5/7
C'est effectivement pareil pour tous les Ei donc
P(Ei)=5/7

Maintenant que vaut la probabilité (pour deux évènements A et B indépendants) de
P(A et B) = ?

par **aeris** » 21 Nov 2013, 17:46

Non ça n'a pas de sens! pfff
Je te remercie Sylviel mais je crois que je n'y arriverais pas !
Tant pis et merci quand même

par **Sylviel** » 21 Nov 2013, 17:48

Bon, tu as décidé que tu ne voulais pas comprendre. Je n'y peut rien.

par **aeris** » 21 Nov 2013, 17:51

Sylviel a écrit:Bon, tu as décidé que tu ne voulais pas comprendre. Je n'y peut rien.

non dsl le mess s'est répété par une mauvaise manipulation

par **aeris** » 21 Nov 2013, 17:56

Sylviel a écrit:Si tu peux y arriver il faut juste essayer de se concentrer un peu.

E1 : "à la première expérience S ne se réalise pas",
donc
P(E1)=1-P(S)= 5/7
C'est effectivement pareil pour tous les Ei donc
P(Ei)=5/7

Maintenant que vaut la probabilité (pour deux évènements A et B indépendants) de
P(A et B) = ?

P(A)*P(B) ?
J'ai essayer de représenter graphiquement avec un arbre, ce serait i fois (5/7)*(5/7)*... = (5/7)^i ?

par **Sylviel** » 21 Nov 2013, 18:10

Presque, ce n'est pas "i" fois mais "N" fois.

De manière plus simple : si tu as une chance sur 10 de gagner au bingo, combien de chance à tu de gagner sur N différents ? Et bien 1/10*1/10*1/10*...*1/10= (1/10)^N

Donc maintenant tu as la probabilité que "S ne se réalise jamais". Par conséquent la proba que S se réalise au moins une fois c'est ...

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