Dm proportionnalité

[Mathilde26]

Bonjour,

Comme indiqué dans le titre, j'ai un devoir en maths à rendre pour la rentrée et j'aurais besoin d'un petit coup de pouce. Voilà le sujet :

Un joueur dispose de trois urnes U1, U2 et U3 contenant chacune k boules, où k désigne un entier naturel supérieur ou égal à 4. Il y a trois boules noires dans l'urne U1, deux boules noires dans l'urne U2 et une seule boule noire dans l'urne U3, et toutes les autres boules contenues dans les urnes sont blanches.
Une partie se déroule ainsi : le joueur tire une boule dans l'urne U1 :
- s'il obtient une boule noire, il la met dans l'urne U2 puis il prend au hasard une boule dans l'urne U2
- s'il obtient une boule blanche, il la met dans l'urne U3 puis il prend une boule au hasard dans l'urne U3

On note :

N1 l'événement : "tirer une boule noire dans U1"
N2 l'événement : "tirer une boule noire dans U2"
N3 l'événement : "tirer une boule noire dans U3"

1. Le joueur joue une partie.
a) Calculer, en fonction de k, la probabilité de l'événement N1

b) Justifier que la probabilité de tirer une boule noire dans l'urne U1 et une boule noire dans l'urne U2 est égale à 9/(k(k+1))
c) Démontrer que la probabilité de l'événement N : "obtenir une boule noire au jeu" est (k+6)/(k(k+1))

2. À la fin de la partie, le joueur à obtenu une boule noire. Calculer, en fonction de k, la probabilité que le joueur ait tiré une boule noire dans l'urne U1

3. Existe-t-il une valeur de k pour laquelle les événement N1 et N sont indépendants ?

4. Le joueur joue une partie et à la fin de la partie il met, dans l'urne U1, le boule qu'il a obtenue au jeu.
a) Quelle est, en fonction de k, la probabilité p(k), que l'urne U1 ait, à la fin de la partie, exactement le même nombre de boules de chaque couleur qu'au début de la partie ?
b) Calculer la limite de p(k) lorsque k tend vers +infini et interpréter le résultat obtenu.


Alors voilà mes premières réponses :

1. a) p(N1)= 3/k

b) - p(N1nN2) = p(N1)xpN1(N2)
= 3/k x 3/(k+1)
= 9/(k(k+1))
_
c) p(N) = p(N1nN2) + p(N1nN3)

= 3/k x 3/(k+1) + (k-3)/k x 1/(k+1)
= 9/(k(k+1)) + (k-3)/(k(k+1))
= (k+6)/(k(k+1))

2) pN2(N1) = (p(N2nN1))/p(N2)
= (9/(k(k+1)))/(3/(k+1))
= 9/(k(k+1)) x (k+1)/3
= (9k+9) / (3k(k+1))


J'ai du mal avec la question 4. J'espère qu'elle vous inspirera plus qu'à moi :hein:

Merci d'avance pour votre aide

[titine]

Bonjour,

Comme indiqué dans le titre, j'ai un devoir en maths à rendre pour la rentrée et j'aurais besoin d'un petit coup de pouce. Voilà le sujet :

Un joueur dispose de trois urnes U1, U2 et U3 contenant chacune k boules, où k désigne un entier naturel supérieur ou égal à 4. Il y a trois boules noires dans l'urne U1, deux boules noires dans l'urne U2 et une seule boule noire dans l'urne U3, et toutes les autres boules contenues dans les urnes sont blanches.
Une partie se déroule ainsi : le joueur tire une boule dans l'urne U1 :
- s'il obtient une boule noire, il la met dans l'urne U2 puis il prend au hasard une boule dans l'urne U2
- s'il obtient une boule blanche, il la met dans l'urne U3 puis il prend une boule au hasard dans l'urne U3

On note :

N1 l'événement : "tirer une boule noire dans U1"
N2 l'événement : "tirer une boule noire dans U2"
N3 l'événement : "tirer une boule noire dans U3"

1. Le joueur joue une partie.
a) Calculer, en fonction de k, la probabilité de l'événement N1

b) Justifier que la probabilité de tirer une boule noire dans l'urne U1 et une boule noire dans l'urne U2 est égale à 9/(k(k+1))
c) Démontrer que la probabilité de l'événement N : "obtenir une boule noire au jeu" est (k+6)/(k(k+1))

2. À la fin de la partie, le joueur à obtenu une boule noire. Calculer, en fonction de k, la probabilité que le joueur ait tiré une boule noire dans l'urne U1

3. Existe-t-il une valeur de k pour laquelle les événement N1 et N sont indépendants ?

4. Le joueur joue une partie et à la fin de la partie il met, dans l'urne U1, le boule qu'il a obtenue au jeu.
a) Quelle est, en fonction de k, la probabilité p(k), que l'urne U1 ait, à la fin de la partie, exactement le même nombre de boules de chaque couleur qu'au début de la partie ?
b) Calculer la limite de p(k) lorsque k tend vers +infini et interpréter le résultat obtenu.


Alors voilà mes premières réponses :

1. a) p(N1)= 3/k

b) - p(N1nN2) = p(N1)xpN1(N2)
= 3/k x 3/(k+1)
= 9/(k(k+1))
_
c) p(N) = p(N1nN2) + p(N1nN3)

= 3/k x 3/(k+1) + (k-3)/k x 1/(k+1)
= 9/(k(k+1)) + (k-3)/(k(k+1))
= (k+6)/(k(k+1))

2) pN2(N1) = (p(N2nN1))/p(N2)
= (9/(k(k+1)))/(3/(k+1))
= 9/(k(k+1)) x (k+1)/3
= (9k+9) / (3k(k+1))

Je ne suis pas d'accord. Je pense que ce qu'on te demande c'est la proba de N1 sachant N (et pas sachant N2)

[Mathilde26]

Je ne suis pas d'accord. Je pense que ce qu'on te demande c'est la proba de N1 sachant N (et pas sachant N2)

Bonjour,

J'y ai aussi pensé mais comment calculer pN(N1) ?

PN(N1)= p(NnN1)/p(N)

On ne connaît pas p(NnN1) puisque c'est égal à p(N)xPN(N1) est c'est ce que l'on est sensé chercher...

[titine]

Bonjour,

J'y ai aussi pensé mais comment calculer pN(N1) ?

PN(N1)= p(NnN1)/p(N)

On ne connaît pas p(NnN1) puisque c'est égal à p(N)xPN(N1) est c'est ce que l'on est sensé chercher...

N inter N1 = N1 !
D'accord ?
Réfléchis bien à ce que signifie inter.

[Mathilde26]

N inter N1 = N1 !
D'accord ?
Réfléchis bien à ce que signifie inter.

Mais oui bien sur !! Merci ! :id:

Voilà ce que j'ai fait à la 4. a)

P(k)= p(N1nN2) + p(N1'nN3´) --> N1' et N3' sont les événements contraires.
P(k)= p(N1) x pN1(N2) + p(N1') x pN1'(N3')
P(k)= 9/k(k+1) + (k-3)/k x ((k+1)-1)/(k+1)
P(k)= (9+kcarré +k-3k-3-1)/k(k+1)
P(k)= (5+kcarré-2k)/k(k+1)