Algorithme d'Euclide

[logiitech123]

Bonsoir,
je suis entrain de voir des corrections d'exercices, et je suis tombé sur l'algorithme d'Euclide.
Je ne comprend pas ceci :

Déterminons, en utilisant l’algorithme d’Euclide, une solution particulière entière de l’équation : 145x + 55y = 5 .
On sait qu’une telle solution existe puisque pgcd(145,155) divise 5.
145 = 55 *´ 2 + 35
55 = 35 * 1 + 20
35 = 20 * 1 + 15
20 = 15 * 1 + 5
15 = 5 * 3 + 0

(le pgcd est le dernier reste non nul, ici 5) Remontons ces égalités :
5 = 20 - 15
= 20 - (35-20) = -35 + 2 * 20
= -35 + 2 * (55 – 35) = -3 * 35 + 2 * 55
5 = -3 * (145 - 55 * 2) + 2 * 55 = -3 * 145 + 8 * 55

Je comprend bien le principe, qu'il doit remonter les égalités à partir du dernier reste non nul, mais je ne comprend pas d'où sortent les chiffres en rouge.

Après le reste 5, il y a le reste 15 = 35 - 20
donc dans 5 = 20 - 15 je remplace 15 par 35 - 20
ce qui donne 5 = 20 - (35 - 20)

Mais pourquoi :
- 35 + 2 * (55 - 35) = - 3 * 35 + 2 * 55
-3 * (145 - 55´ 2) + 2 * 55 = -3 * 145 + 8 * 55

D'où viennent les chiffres 8, 3 et 2


Merci d'avance.

[logiitech123]

Désolé, en fait je viens de trouver d'où venez ces chiffres.
- 35 + 2 * (55 - 35) = - 3 * 35 + 2 * 55
car - 35 + (2 * - 35) = - 3 * 35

-3 * (145 - 55 * 2) + 2 * 55 = -3 * 145 + 8 * 55
car -3*(-55*2) + 2 * 55 = 8 * 55

en fait c'est la simplification ^^

[XENSECP]

Ils sont calculés par développement.

5 = 20 - 15

Tu te concentres sur le en tant que reste et donc 15 = 35-20
= 20 - (35-20)

Donc tu as un -35 et 2*20
= -35 + 2 * 20

Tu te concentres sur le 20 en tant que reste et donc 20 = 55-35
= -35 + 2 * (55 – 35)

Tu analyses les 55 et les 35 : 2*55 et (-1-2)*35
= -3 * 35 + 2 * 55

Enfin tu te concentres sur le 35 comme reste donc 35 = 145 - 2*55
5 = -3 * (145 - 55 * 2) + 2 * 55

Et tu analyses les 145 et 55 : -3*145 et [ (-3)*(-2) + 2 ] * 55 d'où :

5 = -3 * 145 + 8 * 55

[logiitech123]

Ils sont calculés par développement.

5 = 20 - 15

Tu te concentres sur le en tant que reste et donc 15 = 35-20
= 20 - (35-20)

Donc tu as un -35 et 2*20
= -35 + 2 * 20

Tu te concentres sur le 20 en tant que reste et donc 20 = 55-35
= -35 + 2 * (55 – 35)

Tu analyses les 55 et les 35 : 2*55 et (-1-2)*35
= -3 * 35 + 2 * 55

Enfin tu te concentres sur le 35 comme reste donc 35 = 145 - 2*55
5 = -3 * (145 - 55 * 2) + 2 * 55

Et tu analyses les 145 et 55 : -3*145 et [ (-3)*(-2) + 2 ] * 55 d'où :

5 = -3 * 145 + 8 * 55

Merci de ta réponse qui me semble plus claire :we: