Etude de fonction

[Isilra]

Bonjour, voilà cette fonction sort tout droit de mon examen de math, session juin 2013 tout frais tout chaud sorti du four ! héhé..

y = x^3 - 1 / x^2

Je dois donc faire l'étude de cette fonction, donc trouver le domaines, les racines, l'intersection avec l'axe des Y, le tableau de signe, ses limites, sa dérivée et enfin dessiner cette fonction :mur:

Ce que j'ai trouvé :

• Domaine : R \ (0)
• Racine : (1 ; 0) et (-1 ; 0)
• Intersection avec Y : (0 ; 0)
• Asymptote Verticale : x = 0
• Pas d'Asymptote Horizontale
• Pas d'Asymptote Oblique
• Dérivée : x^4 - 2x / x^4

Est-ce correct ?
Comment réalisé un Tableau de Signe ?
A quoi me sert de calculer la dérivée ?

Merci beaucoup de m'aider à résoudre mon problème :ptdr:

[ampholyte]

Bonjour,

- Domaine => OK
- Racine => PAS OK

pour x = -1 on ne trouve pas 0. => Ici tu as
x = 1, x = exp(2iPI/3) et x = exp(4iPI/3)

Pour t'en convaincre, il suffit d'écrire x^3 - 1 sous la forme de (x - 1)(ax² + bx + c) de trouver a, b et c et de calculer les racines de ce polynôme.

- Intersection avec Y => NON => x = 0 est une valeur interdite !

- Asymptote verticale => OK

- Asymptote horizontal => OK

- Asymptote oblique => peux-tu mettre ta démonstration, car au vu de la forme je dirais qu'il y en a. Essaye de voir si y = x n'est pas une asymptote oblique à ta fonction.

- Derivée => NON
Personnellement je trouve plutôt (x;) + 2x)/x;) = (x³ + 2)/x³

(u/v)' = (u'v - uv') / v²

- Tableau de signe il te suffit d'étudier le signe de x³ - 1, le signe de x² et le signe de la division sachant que - par - donne +.

La dérivée te permet de trouver les min/max de ta fonction et de déterminer les variations de ta fonction.

[Isilra]

- Pour la racine, comment trouver ce polynôme ?
Par la méthode HORNER j'obtiens (x-1).(x^2 - x - 1)

- Donc il n'y a pas d'intersection avec l'axe des y ? Ah bah oui c'est logique car la fonction de base n'as pas d'intersection avec Y...

- Pour l'Asymptote Oblique j'ai :
lim (x^3 - 1 / x^2 )/ x
x-->infini

lim x (x^3 - 1) / x^2
x--> infini

lim (x^3 - 1)/x
x-->infini

On prend le plus haut degrès
lim x^3/x = infini donc pas d'asymptote oblique
x-->infini

- Je sais que calculer la dérivée sert à voir les maximas et les minimas, mais comment je les vois ?

Merci de ta réponses rapide ^^ c'est gentil !

[ampholyte]

- (x-1).(x^2 - x - 1) = 0

Donc x - 1 = 0 ou x² - x - 1 = 0 (méthode du déterminant)

- Pour l'asymptote oblique il faut plutôt appliquer ceci :
alors ax + b est une asymptote oblique à f(x).

Que donne la limite donc ...

- Pour voir les maximas, minimas, il suffit simplement de résoudre f'(x) = 0.

- Pas de quoi, on est là pour ça =).

[Isilra]

- Donc ma méthode est correcte pour rechercher les racines ?? il y en a pas alors ? ^^' je ne connais pas ta méthode du déterminant ^^' je vais chercher :-)

- pour l'asymptote oblique, je trouve
a = 1 et b= 1
donc AO = y=x+1 ???

- Pour les max/min je fais donc (x^3+2)/x^3 = 0
je trouve 2.
Mais est-ce un maxima ou un minima ??

( :cry: je sais je suis pas douée)

[ampholyte]

- Pardon, du discriminant (j'ai mélangé une autre conversion le déterminant c'est pour autre chose désolé).

- Comment obtiens-tu ce résultat ?

- Quand tu résouds f'(x) = 0, tu cherches à savoir quand tu as un extremum peut importe si c'est un maximum ou minima, tu sais que la tangente sera horizontal (cela te permet de savoir que tu as un "plateau" ou une bosse).

Pour savoir si c'est un maxima ou minima, il faut étudier les variations de la fonction.

PS : comment obtiens-tu 2 car ce n'est absolument pas ça. Tu dois résoudre (x³ + 2)/x³ = 0 soit
x³ = -2 => donc x = ... ou x = ... ou x = ...

PS2 : As-tu vu les complexes en fait ?

[Isilra]

- Non ça me dit rien non plus la méthode du discriminant :doh:

- J'ai fait lim ((x^3 - 1)/x^3)/x ce qui me donne (x^4 - x)/x^2 je prends le plus haut degré donc j'ai x^4/x^2 qui simplifié donne x^2 comme la limite c'est x tends vers infini bah je remplace par infini et en fait j'obtiens x=infini donc je pense pas qu'il y ai d'asymptote oblique :hein:

- bah j'ai fais la fonction est égale à zéro et je trouve 2 :cry:
(x^3 - 2)/x^3 = 0
x^3 - 2 = x^3
-2 = x^3 - x^3
- 2 = 0
:doh:

- je ne sais pas ce que c'est les complexes ^^'

[ampholyte]

- Tu n'as donc jamais vu la résolution des équations du second degré ? (avec le delta ect..).

- Je ne connais absolument pas cette méthode pour déterminer s'il existe ou non une asymptote oblique. Es-tu sûre que tu en confonds pas avec autre chose ? Peux-tu me donner la définition, propriété de ton cours concernant les AO ?

- Attention
(x³ + 2)/x³ = 0 équivaut pour x différents de 0 à (x³ + 2) = 0 donc x³ = -2 donc x = ...

- Ok alors oublie ce que je t'ai dit sur la résolution des équations du second degré.

[Isilra]

- Ah le delta ça me parle :we: avec b^2 - 4ac = delta
si delta > 0 alors -b +/- 4ac / 2a
si delta < 0 alors -b/2a
Si delta = 0 alors pas de racine
Mais ici c'est pas du second degré :-/

- x^3=-2 donc x = racine cubique de -2 ??

- de mon cours, asymptote oblique
(on voit un graphique)
dans ce cas, la lim f(x) x tend vers l'infini = infini ; x et y tendent tous les deux vers l'infini, A.O = y=ax+b
On peut montrer que : si lim x tends vers l'infini (f(x)/x ) = a appartient R0
alors b = lim x tends vers l'infini (f(x) - ax) et AO. = y = ax+b

donc non on parle bien de la même chose j'en ai peur ^^'

[ampholyte]

- Très bien le delta est appelé discriminant d'où mon interrogation =).

Tu as en fait une équation du second degré.
(x³ - 1) = (x - 1)(x² + x + 1)
or x² + x + 1 = 0 n'a pas de solution (delta c'est exacte racine cubique de -2 (ce qui existe !).

- On est d'accord, tu fais donc une erreur lors du calcul.


On obtient donc a = 1.

on peut donc trouver b.

donc on a une branche parabolique d'équation y = x !

[Isilra]

Ah oké ! je vois où est mon erreur...
quand il y a une fraction sous une fraction, je la remonte de un seulement je dois pas la remonter tout au dessus :girl2: d'accord d'accord...
donc je peux me permette de faire un résumé si tu es d'accord ? :girl2:

• Dom f(x) = R \ (0)
• Racines Z f(x) = (1;0)
• Intersection avec Y : il n'y en a pas
• Asymptote Verticale : x=0
• Pas d'Asymptote Horizontale
• Asymptote Oblique : y=x
• Dérivée : (x^3 - 1)/x^3
• Racine de la dérivée : racine cubique de -2

Mais pour ce qui y est des variations de la fonction, avec un tableau de signe, pour savoir si c'est - ou +, où je dois regarder ?

[ampholyte]

Ok pour le résumé, par contre la dérivée est fausse =). f'(x) = (x³ + 2)/x³

Pour les variations de la fonction, il suffit de faire un tableau de signe de f'(x) et d'en déduire les variations de f.

Il faut regarder pour quel intervalle (x³ + 2)/x³ > 0 et (x³ + 2)/x³ < 0 tu auras ainsi le signe de la dérivée.

[Isilra]

D'accord d'accord, c'est le "en déduire" qui me fait peur mais je vais essayé de faire ces tableaux de signes pour pouvoir dessiner cette fonction :zen:
Merci merci beaucoup et merci milles fois pour m'avoir aider, expliquer et me faire comprendre mes erreurs ! Tu es génial :king2:

[ampholyte]

Petite aide,

Pour trouver le signe de (x³ + 2)/x³, tu peux simplement étudier le signe de (x³ + 2), puis le signe de x³ et de faire le produit des signes.