Fonction plusieurs variables

[dubus]

Bonjour à tous

Pouvez vous m'aider svp
voilà je dois dire si la fonction suivante continue,differentiable, de classe C1 ?

f(x,y)=y^2sin(x/y) si y different de 0 et f(x,0)=0

je vous remercie
cordialement

[dubus]

désolé pour le doublon j'ai pas fais gaffe

[jlb]

Bonjour,je dirais continue sur R², différentiable sur R² et C1 sur R²\{(x,0) tq x appartient à R\{0}}

mais bon, je n'en suis pas certain. Qu'en pensez-vous?

[adrien69]

Elle est bien sûr continue puisque le sinus permet de compenser l'explosion aux alentours de y=0
Pour ce qui est de la preuve : quand y est différent de 0, |f(x,y)|<=y²<=||(x,y) ||² ce qui est aussi valable pour y=0 (en norme 2), par équivalence des normes on a le résultat.
f possède une dérivée selon x en tout point hors y=0 puisque Dxf=ycos(x/y). En y=0, il est nul, ça nous donne une fonction continue sur R², donc dérivée selon x bien continue sur R².
Maintenant selon y : Dyf=-xcos(x/y) quand y n'est pas nul, et en y=0 : limite de tau d’accroissement : nul. On voit tout de suite Dyf discontinue en y=0, donc pas C1 sur R², mais elle l'est sur R²\{y=0}
Pour la différentiabilité : on a montré l'existence de dérivées partielles en tout point, mais ça ne suffit pas.
on a f(x+h,k)= k²sin((x+h)/k)=o(||(h,k)||)
Donc f est différentiable en (x,0) de différentielle nulle.
CQFD.

Content jlb ? ;) on retourne à nos bouteilles ?

[jlb]

impeccable, merci Adrien.