Intégrale et fonction de plusieurs variables

[marine590]

Bonjour,
On a une fonction f telle que f(x,y) = "intégrale de (x+y) à (x²+y²)" de exp(-t²/2).
(Désolée, ce n'est pas très lisible comme ça...)
J'ai du mal avec les intégrales où il y a plusieurs variables. Merci de m'aider!

a) On fixe x. Limite de f(x,y) qd y-> +oo et qd y-> -oo.
b) Ensemble des (x,y) tels que f(x,y) = 0?
c) Justifier l'existence du réel k tel que -k < f(x,y) < racine (2pi)

a) Peut-on simplement dire que qd y-> -oo, la limite est égale à racine(2pi), en s'aidant de la valeur de l'intégrale de Gauss? Comment faire en +oo?
b) La réponse est-elle : il faut que x+y = x² + y²? (car exp >0)
c) Je n'ai pas d'idée...

Merci d'avance!

[XENSECP]

Pour la forme :

[Aredhell]

Pour la forme :

f(x,y)=

Une indication pour la a) : la fonction : est paire. On peut restreindre son étude sur
Cette fonction est continue et négligeable devant au voisinage de : donc elle est intégrable sur
En outre tu peux vérifier que : ce qui te donne par ailleurs un encadrement de
A la b), on peut faire l'étude de signe de en calculant la dérivée :

[marine590]

Je n'arrive pas à exploiter l'encadrement, car c'est exp(-t) alors qu'on a besoin d'un encadrement de exp (-t²/2).
On a exp(-t²/2) >= exp (-t²), mais je n'arrive pas à conclure... ?

[Archibald]

Oui, et donc tu as :

L'encadrement est là, où est le problème ? il te reste à appliquer le théorème des Gendarmes.

[Pythales]

Bonjour,
On a une fonction f telle que f(x,y) = "intégrale de (x+y) à (x²+y²)" de exp(-t²/2).
(Désolée, ce n'est pas très lisible comme ça...)
J'ai du mal avec les intégrales où il y a plusieurs variables. Merci de m'aider!

a) On fixe x. Limite de f(x,y) qd y-> +oo et qd y-> -oo.
b) Ensemble des (x,y) tels que f(x,y) = 0?
c) Justifier l'existence du réel k tel que -k -oo, la limite est égale à racine(2pi), en s'aidant de la valeur de l'intégrale de Gauss? Comment faire en +oo?
b) La réponse est-elle : il faut que x+y = x² + y²? (car exp >0)
c) Je n'ai pas d'idée...

Merci d'avance!

a)
Si il est clair que l'intégrale vaut 0
Si l'intégrale vaut dont la valeur est bien connue

[deltab]

a)
Si il est clair que l'intégrale vaut 0
Si l'intégrale vaut dont la valeur est bien connue

Les assertions que tu énonces proviennent des propriétés des intégrales impropres convergentes et

[/TEX]

[deltab]

a)
Si il est clair que l'intégrale vaut 0
Si l'intégrale vaut dont la valeur est bien connue

@Pythales
Les assertions que tu énonces proviennent des propriétés des intégrales impropres convergentes et
est bien une intégrale impropre convergente. Elles ne sont plus vraies si on les applique à des intégrales divergentes.

-----------------
b) La fonction une fonction continue strictement croissante. En notant par une de ses primitives, est alors strictement croissante et . L'équation admet donc des solutions si et seulement si d'où ie si et seulement xi est sur le cercle centré au point de rayon R=frac{1}{\sqrt{2}}

[deltab]

a)
Si il est clair que l'intégrale vaut 0
Si l'intégrale vaut dont la valeur est bien connue

@Pythales
Les réponses tu as énoncées proviennent des propriétés des intégrales impropres convergentes et
est bien une intégrale impropre convergente.
Elles ne sont plus vraies si on les applique à des intégrales divergentes.

-----------------
b) La fonction une fonction continue strictement positive. En notant par une de ses primitives, est alors strictement croissante et . L'équation admet donc des solutions si et seulement si d'où ie si et seulement xi est sur le cercle centré au point de rayon

c) Vu le résultat trouvé en b) on déduit que f(x,y)< 0 si et seulement si c.a.d si et seulement (x,y) est dans le disque centré au point de rayon

Le disque fermé est compact, la fonction étant continue atteint donc ses bornes, en particulier il existe un point dans où l'on a puisque
En posant par exemple k=2|m|, on a bien -k < f(x,y) pour tout

On peut montrer en s'aidant de la 2ème réponse de a) qu'on a bien sur ,