Coordonnées.

[Khyal]

Bonjour à tous.

"Dans un repère orthonormé (O;I;J), on donne les points A(0 ;6), B(-3;0) et C(4;0). Les droites d1 et d2 ont pour équations respectives x=-3 et x = 4. Les perpendiculaires menées par 0 à (AB) et (AC) coupent la droite d1 en N et la droite d2 en M. La droite MN coupe l'axe des ordonnées en H. Le but de l'exercice est de démontrer que le point H est l'orthocentre du triangle ABC.
1) Calculez les coordonnées des points M et N.
2) a)Trouvez une équation d la droite (MN)
b) Déduisez en les coordonnées du point H
3) Calculez le produit scalaire ->BH.->AC et concluez"

1) Comme les points M et N coupent les droites d1 et d2 alors M à pour coordonnée (-3;y) et N(4;y)
Comment fait-on par la suite?

Tout le reste de l'exercice dépend de ça, merci beaucoup de votre aide..

[arutha67]

Bonjour,

1) Pour M
OM(-3;y) AB(-3;-6)
OM.AB=0
9+(-6y)=0 donc y=3/2

Pour N
ON(4;y) AC(4;-6)
ON.AC=0
16-6y=0 donc y=8/3

Coordonnées direct de M et N

[Khyal]

2)a) l'équation de droite est ax+by +c = 0 On remplace comment?..

[Khyal]

Pouvez vous m'aider?

[hammana]

Pouvez vous m'aider?

Pour calculer les coordonnées du point N tu peux, comme le suggère aytha67, exprimer que le produit scalaire ON.AB est nul. Tu peux aussi utiliser la similitude des triangles OBN et AOB:
BN/OB=OB/OA, BN=OB²/OA=9/6=1.5. Les coordonnées de N sont donc (-3,1.5), tu trouves de même pour coordonnées de M (4,8/3).
L'équation de la droite MN est de la forme y=ax+b. Tu calcules a et b en exprimant que M et N sont sur la droite, donc
1.5=-3a+b; 8/3=4a+b
tu dois trouver b=OH=2. Je suppose que tu sais continuer, sinon rappelle

[Khyal]

Je trouve environ b=1,64..

[hammana]

Je trouve environ b=1,64..

c'est un petit système de 2 équations à 2 inconnues. Tu dois trouver b=2 sinon tu n'auras pas un produit scalaire BH.AC nul.

[Khyal]

Merci beaucoup, j'ai bien trouvé b=2
Comment trouver les coordonnées du point H?

[hammana]

Merci beaucoup, j'ai bien trouvé b=2
Comment trouver les coordonnées du point H?

Le point H est l'intersection de MN avec l'axe OY. C'est la valeur de y pour x=0. Donc OH=b=2

[Khyal]

Merci beaucoup ! Donc H a pour coordonnées (0;2)

Comment calculer ->BH.->AC?

[arutha67]

Tu connais les coordonnées des points B,H,A et C tu peux donc calculer les coordonnées des vecteurs BH et AC et à partir de là calculer le produit scalaire entre les vecteurs :lol3:

[Khyal]

->BH (3;2)
->AC (4;-6)

->BH.->AC =XX' + YY' = 3*4+2*-6 = 0
Qu'en déduis-t-on? u_u

[arutha67]

->BH (3;2)
->AC (4;-6)

->BH.->AC =XX' + YY' = 3*4+2*-6 = 0
Qu'en déduis-t-on? u_u

BH.AC=0
Les vecteurs BH et AC sont orthogonaux donc [BH) est la hauteur du triangle ABC issue de B.

De même on peut calculer AH.BC=0
On en déduit que [AH) hauteur de ABC issue de A

On a deux hauteurs d'un même triangle qui s'intersectent en H.

Donc H est l'orthocentre de ABC

[Khyal]

Merci énormément de votre aide!!