DM de L1

[lucille33]

Bonjour,

J'ai un DM à faire pour la semaine prochaine et je n'arrive pas à répondre aux 3/4 des exercices. J'ai beau cherché depuis une semaine,je ne trouve pas.

Voici l'exercice 1:

1. Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle ouvert I, et soit x0 appartenant à I. On suppose que f est continue en x0 et que f(x0) est strictement positif. Montrer qu'il existe un intervalle ouvert J contenant x0 tel que
quelque soit x appartenant à I inter J, f(x)>0

2. En déduire que si g et h sont deux fonctions réelles sur I, continues en x0, telles que g(x0) différent de h(x0), alors il existe un voisinage V de x0 tel que:
quelque soit x appartenant à V, g(x) est différent de h(x).

Je ne sais pas comment montrer tout ça. J'aimerais juste un petit coup de pouce pour démarrer.
Merci d'avance !

[adrien69]

Salut,

Pour le 1, tu peux utiliser la définition quantifiée de la continuité en x0 en t'arrangeant avec ton epsilon pour obtenir ce que tu veux.

Pour le 2, il faut utiliser la question 1 sur la fonction g-h (ou h-g selon le signe en x0)

[lucille33]

Je ne trouve pas du tout la question 1. Ca doit être évident mais je tourne la définition dans tous les sens mais ne trouve rien...

[lucille33]

Par contre, pour la question 2 j'ai écrit:
h(x0) est différent de g(x0) donc h(x0)-g(x0)>0 (ou g(x0)-h(x0)>0 si g(x0)>h(x0)).
Alors, on a (g-h)(x0)>0 et g-h continue en x0(car g et h sont continues en x0). Cela implique, d'après la question 1, que:
(g-h)(x)>0, i.e : g(x)>h(x) ce qui montre bien que g(x) et h(x) sont différents.
Est ce que c'est bien?
Faut il que je précise le voisinage V ?

[chan79]

Je ne trouve pas du tout la question 1. Ca doit être évident mais je tourne la définition dans tous les sens mais ne trouve rien...

f est continue en 0
comme l'a dit adrien69,
prenons
il existe un intervalle de centre tel que pour tout x dans cet intervalle:

ce qui donne


f est positive sur cet intervalle

[lucille33]

Oh merci ! J'avais fait un truc comme ça mais je trouvais pas ce que je voulais...