Dérivabilité et Développement Limité

[Vince0873]

Bonjour à tous, étant nouveau sur le forum je me permets de créer une nouvelle discussion. Je suis en L1 Droit Mention AES et c'est la période de révisions. J'ai donc repris un annale que j'ai f'ait et je vous demande de voir si ce que j'ai fait est bon. Merci d'avance. Alors voici le sujet :



Soit f la fonction définie par : f (x) = x ln(1+ x4 ) - x2e3x +1

1) Donner l’expression de : f '(x) =

2) Donner l’expression de : f ''(x) =

3) Ecrire le DL2 (0) de f (x)

4) Définir la différentielle df1 de f en 1


Et voici ce que j'ai trouver... :

1) f' (x) = 1 x 1 / x^4 - 2x e^3x

= 1 / x^4 - 2x e^3x


2) f '' = 4 / x^5 - 2 x 3 x e^3x

= 4 / x^5 - 6e^3x


3) (je maitrîse mal la notion de Développement Limité) : f (a+h) = f(a) + f'(a) h + h Epsilon (h)

f (h) = P2 (h) + h² Epsilon (h) , Epsilon (h) --> 0
h-->0

f (h) = h ln (1 + h^4) - h2 e^3h

= h ln (1) + h ln (h^4) - h² e3h

= ln (h^4) - h² e^3h

Posons P2 (h) = -h² e^3h et Epsilon (h) = ln (h)

Alors f (h) = P2 (h) + ln (h^3) et Epsilon (h) = ln(h) --> 0
h-->0

Donc DL2 (0) de f(x) :

f(h) = -h² e^3h + ln (h) ; Epsilon (h) --> 0
h-->0



4) f(x) = x ln (1 + x^4) - x² e^3x + 1

df x0 : h --> f' (x0) h

f' (x) = 1 / x^4 - 2x e^3x

Donc df1 (h) = ( 1 / x^4 - 2x e^3x ) h


Voilà ce que j'ai trouver, je ne suis vraiment pas sur des résultats. Merci de m'éclaircir. :we: Bonne aprem '

[ampholyte]

Bonjour,

1) Le calcul de f'(x) est faux.

Voici quelques indications :

(u*v)' = u'v + uv'

(ln(u))' = u'/u

(exp(u))' = u' exp(u)

2) Le calcul de f''(x) est faux également du coup ^^.

(u/v)' = (u'v - uv')/v²

3) Concernant le DL, je te conseille de revoir la formule de Taylor Lagrange :



Tu as calculé les dérivées avant, cela devrait t'aider pour le DL(0)

Reprends déjà ces calculs.

[Vince0873]

Alors j'ai recherché et je trouve ça pour les deux dérivées mais je n'en suis pas encore sur...

1) f'(x) = 4/x - 2x x 3exp (3x)

2) f '' (x) = 4/x² - 2 x 3 exp (3x).

Merci d'avance

[ampholyte]

Ce n'est toujours pas ça, voici ce que j'obtiens :

1) (dit moi si ce n'est pas la bonne forme)






2)



Erreur incluse :zen:

[Vince0873]

Merci beaucoup mais j'ai du mal à comprendre comment on passe de f' à f''. Et la notion de DL2 (0) je ne comprends vraiment pas même en relisant le cours

[ampholyte]

Pour passer de f'(x) à f"(x) il suffit tout simplement de dériver f'(x).

Les développements limités permettent de chercher une approximation polynomiale possible d'une fonction en un point.

As-tu vu la formule de Taylor-Lagrange (que je t'ai mis plus haut) ?

[Vince0873]

Oui je sais qu'il faut dérivé la première dérivée je pense avoir compris en refaisant le calcul mais c'est pas évident.

Ensuite pour le développement limité j'ai bien vu la formule de Taylor, mais je ne comprends pas comment on l'applique pour le Rang 2 avec P2.

[ampholyte]

On cherche DL2(0), donc n = 2 et xo = 0 (on s'arrête à x²)



On développe l'expression :



Je te le réécris :



Je te laisse faire le calcul.

[Vince0873]

Ah d'accord il faut remplacer n par 2 et x0 c'est bien le nombre entre parenthèse dans la formule de départ ?

Après une fois que l'on arrive à f(x) = il suffit de calculer en remplaçant 0 dans les fonctions f' et f'' c'est bien ça ?

[ampholyte]

C'est tout à fait ça.

Lorsqu'on te demande de calculer DL2(0) cela se traduit par : Développement limité au rang 2 en 0 (n = 2, xo = 0).

Pour f'(0) et f"(0), il faut en effet remplacer x par 0 dans les deux formules du dessus.

[Vince0873]

Ah d'accord c'est bon ça commence à rentrer. Merci

Et puis donc pour la différentielle, on utilise la formule : dfa (h) = f'(a) h c'est bien ça ? et h correspond ici à 1 ?

[ampholyte]

En fait c'est plutôt

avec limite de h qui tend vers 0 de

[Vince0873]

Ok par contre je reviens juste sur le DL. En reprenant en détail l'exemple type du cours avec un DL2 (0) à trouver je trouve cela : Peux tu m'indiquer si ce n'est pas bon.

f(x) = x ln(1+x^4) - x² e^3x + 1

Donnons un DL2 (0) de f(x).

On cherhce une fonction polynôme P2 de degré 2 et une fonction Epsilon définie sur un intervalle ouvert qui contient 0 tels que :

f(h) = P2 (h) + h² Epsilon (h) ; Epsilon (h) -->0
h-->0

f(h) = h ln(1+x^4) - h² e^3h + 1

Posons P2 (h) = 1 - h² e^3h et Epsilon (h) = h ln (1+h^4)

Alors f(h) = P2 (h) + h² et Epsilon (h) = h ln (1+x^4) -->0
h-->0

Donc DL2 (0) de f(x) = 1 - h² e^3h + h ln (1+h^4)


C'est la méthode utilisée dans le cours. Qu'en penses-tu?

[Anissa83700]

Est ce que sa serait possible de m'aider à mon exercice de math

http://www.ac-noumea.nc/ecogest/IMG...iques2011NC.pdf

Stpppp je suis en galère la dernière question partie A et partie B merci

[ampholyte]

Ok par contre je reviens juste sur le DL. En reprenant en détail l'exemple type du cours avec un DL2 (0) à trouver je trouve cela : Peux tu m'indiquer si ce n'est pas bon.

f(x) = x ln(1+x^4) - x² e^3x + 1

Donnons un DL2 (0) de f(x).

On cherhce une fonction polynôme P2 de degré 2 et une fonction Epsilon définie sur un intervalle ouvert qui contient 0 tels que :

f(h) = P2 (h) + h² Epsilon (h) ; Epsilon (h) -->0
h-->0

f(h) = h ln(1+x^4) - h² e^3h + 1

Posons P2 (h) = 1 - h² e^3h et Epsilon (h) = h ln (1+h^4)

Alors f(h) = P2 (h) + h² et Epsilon (h) = h ln (1+x^4) -->0
h-->0

Donc DL2 (0) de f(x) = 1 - h² e^3h + h ln (1+h^4)


C'est la méthode utilisée dans le cours. Qu'en penses-tu?

Ton raisonnement est assez bizarre et ton résultat est faux.

Si on reprend la définition :



Avec P(x - xo) un polynôme que l'on appelle la partie régulière du DL. Tu dois le calculer, tu ne dois absolument pas l'identifié à ta fonction dans notre cas.

Serait-il possible d'avoir la méthode utilisée dans ton cours ?

[Vince0873]

Je me suis contenté de reprendre un exemple vu après la définition du DL. On a pris f(x) = (2x+1)^3 .

Est-ce pour cela que ça ne fonctionne pas ?

[ampholyte]

Oui c'est exactement pour cette raison car f(x) est déjà sous la forme d'un polynôme.

Le résultat peut donc se calculer immédiatement.

[Vince0873]

Pourrais-tu me fournir le résultat que tu as trouvé pour le DL. Le devoir est demain matin est je ne comprends toujours pas d'ou vient le problème. Merci d'avance :)

[ampholyte]

[Vince0873]

Ah d'accord. Et le o(x²) ça représente Epsilon (h) c'est ça ou pas ?