Ex Sinus terminale

[droopy5782]

Bonjour,
Je suis en terminale S et j'ai un exercice à résoudre:

C est la courbe représentative, dans le repère orthonormé (O,I,J), de la fonction g définie sur [o,pi/2] par g(x)=sin(x).
A est le point de coordonnées (1;0) et M un point quelconque de c, d'abscisse x.
Le but de l'exercice est de trouver la position de M sur c pour laquelle la distance AM est minimale.

1- Démontrez que AM²=(x-1)²+sin²(x)

Je ne vois pas comment faire pour répondre à cette question.
J'ai pris les coordonnées (x;y) pour le point M et j'ai ensuite calculé AM avec ces coordonnées mais je ne sais pas si c'est utile.

Merci d'avance.

[Xulthiar]

Bonjour,
Je suis en terminale S et j'ai un exercice à résoudre:

C est la courbe représentative, dans le repère orthonormé (O,I,J), de la fonction g définie sur [o,pi/2] par g(x)=sin(x).
A est le point de coordonnées (1;0) et M un point quelconque de c, d'abscisse x.
Le but de l'exercice est de trouver la position de M sur c pour laquelle la distance AM est minimale.

1- Démontrez que AM²=(x-1)²+sin²(x)

Je ne vois pas comment faire pour répondre à cette question.
J'ai pris les coordonnées (x;y) pour le point M et j'ai ensuite calculé AM avec ces coordonnées mais je ne sais pas si c'est utile.

Merci d'avance.

M appartient à la courbe.
donc si tu appelles y l'ordonnée de M, tu sais que y=... ?

[droopy5782]

y=sin(x) ?

[Xulthiar]

y=sin(x) ?

Voilà.
Donc M a pour coordonnées
x=x
y=sinx
Que peux tu dire de la distance entre A et M ?
Pour rappel, la formule qui calcule la distance entre deux points A(x,y) et B(x',y') et

[droopy5782]

Avec la formule pour calculer les coordonnées qui est: racine de (xb-xa)+(yb-ya)
On a AM= racine de (x-1)²+(sin(x)-0)²
.......AM= x-1+sin(x)
donc AM²=(x-1)²+(sin(x))²

[Xulthiar]

... ce qui est la réponse à ta question.

[droopy5782]

Mais moi j'ai pris racine de (x'-x)²+(y'-y)²
et pas racine de (x-x')²+(y-y')²

[Xulthiar]

Démo :
Donc ça revient au même, que tu calcules (x'-x)²+(y'-y)² ou (x-x')²+(y-y')²

[droopy5782]

AAAAAAAAH
Ben merci ^^ je ne le savais pas.

[Xulthiar]

Pas de soucis. Bonne chance pour la fin de l'exercice.

[droopy5782]

Merci

Mais j'aurais encore quelques petites questions ^^ (juste vérification cette fois ci)

f(x)=(x-1)²+sin²(x)
donc
f'(x)=2x-2+cos²(x) ou f'(x)=2x-2+2cos(x)
et
f''(x)=2+sin²(x) ou f"(x)=2+sin(x)

[Xulthiar]

sin²(x)=sin(x)*sin(x)
Donc (sin²(x))'=sin'(x)*sin(x)+sin(x)*sin'(x)
(sin²(x))'=cos(x)*sin(x)+sin(x)*cos(x)
(sin²(x))'=2sin(x)cos(x)
Et tu peux reconnaitre une identité remarquable : c'est sin(2x).

Ce n'était malheureusement ni l'un ni l'autre.

[droopy5782]

sin²(x)=sin(x)*sin(x)
Donc (sin²(x))'=sin'(x)*sin(x)+sin(x)*sin'(x)
(sin²(x))'=cos(x)*sin(x)+sin(x)*cos(x)
(sin²(x))'=2sin(x)cos(x)
Et tu peux reconnaitre une identité remarquable : c'est sin(2x).

Ce n'était malheureusement ni l'un ni l'autre.

Donc si je comprend bien
f'(x)=2x-2+2sin(x)cos(x)
et si je dérive correctement
f"(x)2+cos²(x)+(-sin(x))*2sin(x) ??

[Xulthiar]

Tu as donc f'(x)=2x-2+2sin(x)cos(x)
Pour dériver 2sin(x)cos(x), il faut soit passer par le fait que c'est sin(2x) (auquel cas sa dérivée est 2*2cos2x, ou le voir comme un produit de fonction.
Sa dérivée est alors 2[sin'(x)cos(x)+sin(x)cos'(x)]
=2[cos²(x)-sin²(x)]
On reconnait à nouveau une identité remarquable : cos²(x)-sin²(x)=cos(2x)
D'où : la dérivée est 4cos(2x).

Si tu n'as pas étudié en cours ces identités remarquables, passe par la dérivée d'un produit.
Tu avais juste oublié le 2 devant cos²(x)

[droopy5782]

Donc f"(x)=2+2cos²(x)-sin²(x)
(je vais y arriver ^^)

[droopy5782]

Je suis bloquée à la dernière question de cet exercice.

J'ai su des questions précédentes que f'(x) était croissante, qu'il existait un unique nombre alpha de I pour lequel f'(alpha)=0 (0.5
La question est:
On note Mo le point d'abscisse alpha.
Démontrez que la tangente en Mo à la courbe C est perpendiculaire à la droite (AMo)

[droopy5782]

Pourais-je avoir une réponse s'il vous plait ?

[hammana]

Pourais-je avoir une réponse s'il vous plait ?

La pente de la tangente à la courbe au point d'ascisse alpha est cos(alpha).
Il faut calculer la pente de la droite AMo et montrer que le produit des deux pentes est égal à -1. C'est la condition pour que les deux droites soient perpendiculaires.
L'équation f'(x)=0 exprime justement cette cndition