Limite d'une suite

[solver]

quelque soit n>=2

U(n)=1/(n+1) + 1/(n+2) +........+1/(2n)

Mq la suite est majorée, et que sa limite L verifie:
1/2<= L <= 3/4

merci infiniment pour votre aide.

[Black Jack]

U(n)=1/(n+1) + 1/(n+2) +........+1/(2n)


U(n+1)=1/(n+2) + 1/(n+3) +........ + 1/(2n) +1/(2n+1) + 1/(2n+2)

U(n+1) = U(n) - 1/(n+1) + 1/(2n+1) + 1/(2n+2)

mise au même dénominateur et simplification ...

U(n+1) = U(n) + 1/[(2n+1).(2n+2)]

Comme 1/[(2n+1).(2n+2)] > 0, la suite est croissante, sa valeur minimun est donc pour n = 2

U(2) = 1/3 + 1/4 = 7/12

et donc la suite est minorée par 7/12

lim(n --> oo) Un >= 7/12 et donc a fortiori : lim(n --> oo) Un >= 1/2 (1)

***
U(n+1) = U(n) + 1/[(2n+1).(2n+2)]

U(n+1) = U(n) + 1/(2n+1) - 1/(2n+2)

U3 = U2 + 1/5 - 1/6

U4 = U3 + 1/7 - 1/8
U4 = U2 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8

...

Un = U2 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + ... + 1/(2n-1) - 1/(2n)

Un = 7/12 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + ... + 1/(2n-1) - 1/(2n)

Un = 7/12 - Somme(depuis k = 5 jusque 2n) [(-1)^k * 1/k] (pour n >= 3)
***
Somme(depuis k = 5 jusque 2n) [(-1)^k * 1/k] est une somme de termes alternés V(k) avec |V(k+1)| < V|k| et lim(k --> oo) V(k) = 0

V est donc une série convergente (théorème de Leibniz)

On Sait donc (théorie accompagnant le théorème de Leibniz) que si on remplace la suite infinie (si n --> +oo) par une suite arrêtée au k ème terme, l'erreur faite est inférieure en valeur absolue à la valeur absolue du 1er terme négligé... et que le signe de l'erreur est celui du premier terme négligé.

Et donc lim(n --> oo) Un <= 7/12 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + 1/9 (premier terme négligé = -1/10)

lim(n --> oo) Un <= 0,7456...

et donc a fortiori : lim(n --> oo) Un <= 3/4 (2)
***
(1) et (2) : 1/2 <= lim(n --> oo) Un <= 3/4
*****

Mais je ne suis pas sûr du tout que c'était le genre de réponse attendu.

:zen:

[chan79]

U(n)=1/(n+1) + 1/(n+2) +........+1/(2n)


U(n+1)=1/(n+2) + 1/(n+3) +........ + 1/(2n) +1/(2n+1) + 1/(2n+2)

U(n+1) = U(n) - 1/(n+1) + 1/(2n+1) + 1/(2n+2)

mise au même dénominateur et simplification ...

U(n+1) = U(n) + 1/[(2n+1).(2n+2)]

Comme 1/[(2n+1).(2n+2)] > 0, la suite est croissante, sa valeur minimun est donc pour n = 2

U(2) = 1/3 + 1/4 = 7/12

et donc la suite est minorée par 7/12

lim(n --> oo) Un >= 7/12 et donc a fortiori : lim(n --> oo) Un >= 1/2 (1)

***
U(n+1) = U(n) + 1/[(2n+1).(2n+2)]

U(n+1) = U(n) + 1/(2n+1) - 1/(2n+2)

U3 = U2 + 1/5 - 1/6

U4 = U3 + 1/7 - 1/8
U4 = U2 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8

...

Un = U2 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + ... + 1/(2n-1) - 1/(2n)

Un = 7/12 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + ... + 1/(2n-1) - 1/(2n)

Un = 7/12 - Somme(depuis k = 5 jusque 2n) [(-1)^k * 1/k] (pour n >= 3)
***
Somme(depuis k = 5 jusque 2n) [(-1)^k * 1/k] est une somme de termes alternés V(k) avec |V(k+1)| oo) V(k) = 0

V est donc une série convergente (théorème de Leibniz)

On Sait donc (théorie accompagnant le théorème de Leibniz) que si on remplace la suite infinie (si n --> +oo) par une suite arrêtée au k ème terme, l'erreur faite est inférieure en valeur absolue à la valeur absolue du 1er terme négligé... et que le signe de l'erreur est celui du premier terme négligé.

Et donc lim(n --> oo) Un oo) Un oo) Un oo) Un <= 3/4
*****

Mais je ne suis pas sûr du tout que c'était le genre de réponse attendu.

:zen:

salut
juste une remarque
7/12=1-1/2+1/3-1/4
1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+ ... =ln (2) (série harmonique alternée)
mais on n'est pas dans les programmes lycée

[solver]

je vous remercie infiniment pour ces explications superb , j'ai mnt l'idée générale
vraiment c 'un très bon travail.
je sais que c'est pas dans le prog du lycée mais maleureusement il a été poser au èleve du BAC serie sc maths.
merci encors une fois.

[Ericovitchi]

U(n)=1/(n+1) + 1/(n+2) +........+1/(2n)

Tu peux remarquer que Un est la somme de n termes dont le plus petit est 1/2n et le plus grand est 1/(n+1).

Regarde ce qu'il se passe quand on écrit que la somme est plus grande que n fois le plus petit des termes et plus petite que n fois le plus grand des termes.

[Black Jack]

U(n)=1/(n+1) + 1/(n+2) +........+1/(2n)

Tu peux remarquer que Un est la somme de n termes dont le plus petit est 1/2n et le plus grand est 1/(n+1).

Regarde ce qu'il se passe quand on écrit que la somme est plus grande que n fois le plus petit des termes et plus petite que n fois le plus grand des termes.

C'est clairement plus direct. :we:

:zen:

[chan79]

U(n)=1/(n+1) + 1/(n+2) +........+1/(2n)

Tu peux remarquer que Un est la somme de n termes dont le plus petit est 1/2n et le plus grand est 1/(n+1).

Regarde ce qu'il se passe quand on écrit que la somme est plus grande que n fois le plus petit des termes et plus petite que n fois le plus grand des termes.

salut
Un>= n* 1/(2n) donc Un >=1/2 OK
ensuite
Un<=n* 1/(n+1)
Un <= n/(n+1)
ensuite, je ne vois pas ...

[Ericovitchi]

n/2n ça te fait directement 1/2 et n/(n+1)<1 donc la limite est entre 1/2 et 1
mais c'est vrai que ça ne démontre pas <3/4 (alors que c'est vrai la limite est ln(2)=0.69 qui est bien <0.75)

Pour le <3/4 je crains qu'il ne faille passer par des considérations plus sophistiquées comme l'a fait Black Jack.

[Ericovitchi]

ha moins de connaître le résultat que 1+1/2+...+1/n - ln(n) tend vers la constante d'Euler
Dans ce cas 1/(n+1)+...+1/2n ~ ln((2n/(n))=ln(2) qui est <3/4

[chan79]

n/2n ça te fait directement 1/2 et n/(n+1)<1 donc la limite est entre 1/2 et 1
mais c'est vrai que ça ne démontre pas <3/4 (alors que c'est vrai la limite est ln(2)=0.69 qui est bien <0.75)

Pour le <3/4 je crains qu'il ne faille passer par des considérations plus sophistiquées comme l'a fait Black Jack.

d'accord, j'avais peur d'être passé à côté de quelque chose d'évident :zen: