Limite d'une suite

par **Cheesecake** » 21 Nov 2012, 22:31

Bonsoir, voici mon problème:
Soit (Un) et (Vn) deux suites numériques et n0 un entier naturel.
On suppose que pour tout entier naturel n tel que n=>n0 , Un =< Vn , et que la limite quand n tend vers +infini de V(n) = -infini.
Il faut montrer que la limite de Un quand n tend vers +infini = -infini.
Merci!

par **Vat02** » 21 Nov 2012, 23:23

Cheesecake a écrit:Bonsoir, voici mon problème:
Soit (Un) et (Vn) deux suites numériques et n0 un entier naturel.
On suppose que pour tout entier naturel n tel que n=>n0 , Un =< Vn , et que la limite quand n tend vers +infini de V(n) = -infini.
Il faut montrer que la limite de Un quand n tend vers +infini = -infini.
Merci!

Je ne sais plus s'il y a vraiment un nom de théorème pour ça , mis à part le théorème des gendarmes qui s'applique pour un encadrement.

Mais là, par simple logique avec ces 2 éléments :

Un < Vn
Vn tend vers -l'infini

Donc en l'infini .... peu importe la "grandeur", Un =< Vn donc Un tend vers - l'infini également puisqu'elle est "en dessous" de Vn

par **Cheesecake** » 21 Nov 2012, 23:33

Mais il se peut que Vo soit beaucoup plus petit que Uo, et donc que la suite (Vn) soit croissante en dessous de (Un) et donc peut tendre vers +l'infini non?

merci

par **Vat02** » 21 Nov 2012, 23:46

Cheesecake a écrit:Mais il se peut que Vo soit beaucoup plus petit que Uo, et donc que la suite (Vn) soit croissante en dessous de (Un) et donc peut tendre vers +l'infini non?

merci

Non puisque Vn est supérieure à Un (ou égale)

par **Cheesecake** » 21 Nov 2012, 23:49

Ah désolé je me suis trompée:il se peut que Uo soit beaucoup plus petit que Vo, et donc que la suite (Un) soit croissante en dessous de (Vn) et donc peut tendre vers +l'infini ?

par **Nightmare** » 22 Nov 2012, 00:00

Cheesecake a écrit:Ah désolé je me suis trompée:il se peut que Uo soit beaucoup plus petit que Vo, et donc que la suite (Un) soit croissante en dessous de (Vn) et donc peut tendre vers +l'infini ?

(Vn) tend vers -oo et (Un) est en dessous donc même si elle est croissante (ce qui, en réfléchissant un petit peu, n'est pas possible), elle ne pourra pas aller vers +oo.

Pour résoudre le problème, il faut d'abord se poser la question suivante :

Que signifie "tendre vers -oo" pour une suite?

par **Vat02** » 22 Nov 2012, 00:02

Cheesecake a écrit:Ah désolé je me suis trompée:il se peut que Uo soit beaucoup plus petit que Vo, et donc que la suite (Un) soit croissante en dessous de (Vn) et donc peut tendre vers +l'infini ?

Je laisse Nightmare s'occuper du post

par **Cheesecake** » 22 Nov 2012, 00:03

Qu'elle est décroissante ?

par **Nightmare** » 22 Nov 2012, 00:06

Cheesecake a écrit:Qu'elle est décroissante ?

Attention, c'est tentant à dire, mais c'est faux.

Imagine toi en train de descendre un escalier infini, mais que toutes les dix marches, tu remontes d'une marche.

Tu vas bien être de plus en plus bas, mais tu n'es pas tout le temps en train de descendre.

par **Cheesecake** » 22 Nov 2012, 00:08

Nightmare a écrit:Attention, c'est tentant à dire, mais c'est faux.

Imagine toi en train de descendre un escalier infini, mais que toutes les dix marches, tu remontes d'une marche.

Tu vas bien être de plus en plus bas, mais tu n'es pas tout le temps en train de descendre.

Heu oui...? :hein:

par **Nightmare** » 22 Nov 2012, 00:15

Si tu n'es pas convaincue, examine la suite suivante :

-1
-2
-3
-2
-4
-5
-6
-5
-7
-8
-9
-8
-10
-11
-12
-11
-13
-14
etc.

C'est à dire la suite de terme général U(n) = -n mais qui déraille un petit peu : Tous les trois termes, plutôt que de me donner le suivant, elle me donne le précédent puis repart comme si rien ne s'était passé.

Tu es d'accord que cette suite tend vers -oo? Est-elle décroissante?

par **Cheesecake** » 22 Nov 2012, 00:18

Oui mais elle n'est pas décroissante...

par **Nightmare** » 22 Nov 2012, 00:19

Ok. Donc une suite qui tend vers -oo, ce n'est pas forcément une suite décroissante.

Du coup, on est de retour à notre point de départ :

Qu'est-ce qu'une suite qui tend vers -oo? (Tu as le droit d'ouvrir ton cours ou ton manuel pour le savoir).

par **Cheesecake** » 22 Nov 2012, 00:26

une suite majorée?

par **Nightmare** » 22 Nov 2012, 00:29

Oui, une suite qui tend vers -oo est majorée, mais une suite majorée ne tend pas forcément vers -oo, regarde une suite constante par exemple.

Edit : L'oreiller m'appelle. Essaye de réfléchir à tout ça à tête reposée peut être

par **Cheesecake** » 22 Nov 2012, 00:32

Nightmare a écrit:Oui, une suite qui tend vers -oo est majorée, mais une suite majorée ne tend pas forcément vers -oo, regarde une suite constante par exemple.

Edit : L'oreiller m'appelle. Essaye de réfléchir à tout ça à tête reposée peut être

Ah ok ^^ moi aussi d'ailleurs...
merci en tout cas! :happy2:

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