DM maths niveau 1S; besoin d'aide

[audecécile]

Bonjour! :)
J'ai un DM en maths et j'ai du mal à savoir comment aborder le problème.

[titine]

Bonjour!
J'ai un DM en maths et j'ai du mal à savoir comment aborder le problème.


L'énoncé :
"on coupe un fil métallique, de 50 cm de long, en deux parties de longueurs AC et CB
Avec le segment [AC] on forme un triangle équilatéral et avec [CB] on forme un carré.

Question :
Est-il possible d'obtenir un triangle d'aire supérieure à celle du carré mais de périmètre inférieur?
Si oui donner les longueurs AC et CB.

La réponse est oui. Mais je ne sais pas comment le prouver. Peut-être utiliser la formule pour calculer l'aire d'un carré et d'un triangle (de même pour le périmètre).

Appelle x la longueur du côté du triangle équilatéral.
On a donc AC = 3x et CB = 50 - 3x
Donc le côté du carré est (50 - 3x)/4

Écris maintenant l'aire de ce triangle, l'aire de ce carré et leurs périmètres .................

[audecécile]

Appelle x la longueur du côté du triangle équilatéral.
On a donc AC = 3x et CB = 50 - 3x
Donc le côté du carré est (50 - 3x)/4

Écris maintenant l'aire de ce triangle, l'aire de ce carré et leurs périmètres .................

Pour l'aire du triangle (b*h)/2 donc (2*x)/2
Aire du carré ((50-3x)/4)²

Perimètres

Carré (50-3x)*4
Triangle 3x

Comment appliquer la formule de l'air du triangle sachant que je n'ai pas la base du triangle?

Je vous remercie pour le temps que vous m'accordiez!

[titine]

Triangle équilatéral de côté x.
Base = x
Hauteur = h avec x² = h² + (x/2)² (Pythagore)
Donc h² = x² - x²/4 = (3/4) x²
h = (rac(3)/2) x

[audecécile]

Triangle équilatéral de côté x.
Base = x
Hauteur = h avec x² = h² + (x/2)² (Pythagore)
Donc h² = x² - x²/4 = (3/4) x²
h = (rac(3)/2) x

D'accord, merci pour l'explication

donc (rac(3)/2)x*x/2

Pour la suite

Quand x donne
aire(carré) <Aire(triangle) ((50-3x)/4)² < (rac(3)/2)x*x/2 ((50-3x)/4)²-(rac(3)/2)x*x/2 <O
Périmètre(triangle)< perimètre (carré) 3X < (50-3x)*4 3x-(50-3x)*4<0

Est-ce bien ces inéquations qu'il faut résoudre?

[titine]

Carré (50-3x)*4

Non.
côté du carré = (50-3x)/4
Donc périmètre du carré = 4*(50-3x)/4 = 50-3x

[titine]

Il faut donc qu'on ait :
1) ((50-3x)/4)²-(rac(3)/2)x*x/2 < O
c'est à dire : (9-4rac(3))x² - 300x + 2500 < 0
2) 3x-(50-3x) < 0
c'est à dire 6x < 50
x < 25/3

La 1ère est une inéquation de degré 2.
On calcule delta et on trouve 2 racines qui sont x1 environ égal à 8,9 et x2 environ égal à 135,9
Donc (9-4rac(3))x² - 300x + 2500 est du signe de (9-4rac(3)) (positif) sauf entre x1 et x2.
Donc (9-4rac(3))x² - 300x + 2500 < 0 entre x1 et x2.

Pour la 2ème il faut que x < 25/3, c'est à dire environ 8,3.

Il n'y a pas de nombres inférieurs à 25/3 et compris entre x1 et x2.
Donc le problème n'a pas de solution.

Tout cela est à vérifier. Je ne suis pas tout à fait sûr de mes calculs ...

[audecécile]

Il faut donc qu'on ait :
1) ((50-3x)/4)²-(rac(3)/2)x*x/2 < O
c'est à dire : (9-4rac(3))x² - 300x + 2500 < 0
2) 3x-(50-3x) < 0
c'est à dire 6x < 50
x < 25/3

La 1ère est une inéquation de degré 2.
On calcule delta et on trouve 2 racines qui sont x1 environ égal à 8,9 et x2 environ égal à 135,9
Donc (9-4rac(3))x² - 300x + 2500 est du signe de (9-4rac(3)) (positif) sauf entre x1 et x2.
Donc (9-4rac(3))x² - 300x + 2500 < 0 entre x1 et x2.

Pour la 2ème il faut que x < 25/3, c'est à dire environ 8,3.

Il n'y a pas de nombres inférieurs à 25/3 et compris entre x1 et x2.
Donc le problème n'a pas de solution.

Tout cela est à vérifier. Je ne suis pas tout à fait sûr de mes calculs ...

Merci pour ces calculs, j'ai vérifié, ils me semblent juste.
J'ai une question; on peut utiliser delta quand il s'agit d'une inéquation?
x correspond à coté du triangle ou du carré? Ca me parait confus
Donc ça revient à dire que ce n'est pas possible car x<8.3 et que cette valeur n'est pas comprise entre x1 et x2...
Il est impossible d'obtenir un triangle d'aire supérieur à celle du carré mais de périmètre inférieur à part quand x<8,3.

[titine]

Merci pour ces calculs, j'ai vérifié, ils me semblent juste.
J'ai une question; on peut utiliser delta quand il s'agit d'une inéquation?
x correspond à coté du triangle ou du carré? Ca me parait confus

Appelle x la longueur du côté du triangle équilatéral.

Pour étudier le signe de ax² + bx + c (donc pour résoudre ax² + bx + c > 0 ou ax² + bx + c 0 il faut bien calculer delta.

[audecécile]

Pour étudier le signe de ax² + bx + c (donc pour résoudre ax² + bx + c > 0 ou ax² + bx + c 0 il faut bien calculer delta.

D'accord merci, mais il y a un point que je ne saisis pas.
En quoi les variations de la parabole ainsi que les racines sont intéressantes à étudier pour répondre à la question principale?

La question reste périmètre(triangle)<perimètre(carré) et aire(carré)<aire(triangle), et obtenir des racines je ne sais pas par quoi le traduire?

Je vous remercie de votre aide!