Diagonalisation

[Iotup]

Bonjour, je bloque depuis un certain temps sur une question d'un exo en maths, j'espère trouver un peu d'aide pour m'éclairer...

On a une matrice A de Mn(R) qui est diagonalisable dans Mn(C).
Il faut montrer que A est semblable dans Mn(R) à une matrice diagonale par blocs, ou chaque bloc Ci est une matrice carrée d'ordre 1 ou 2.

Je pense que pour chaque valeur propre relle de A, Ci sera d'ordre 1 et pour chaque valeur propre complexe Ci sera d'ordre 2, mais je ne vois pas comment le montrer...

Merci d'avance!

[Le_chat]

Salut. Tu peux montrer que si a est une vp complexe de A, son conjugué est aussi vp de A, et qu'elles ont le même ordre de multiplicité. Ça devrait t'aider à répondre à la question.

[Iotup]

Je l'ai fais...

Cependant, si je note a une valeur propre complexe de A, et b son conjugué, comment justifier qu'il existe une matrice de M2(R) qui est semblable à :
a 0
0 b
(Cette matrice serait alors Bi d'ordre 2...)

[Le_chat]

Si tu écris a=x+iy, alors b=x-iy et ta matrice devient x*I2+y*(i 0,0 -i), il suffit donc de montrer que (i 0,0 -i) est semblable (dans Mn(C)) à une matrice réelle, ce qui est vrai. Je te laisse en trouver une, remarque qu'une telle matrice vérifie M^2=-I2.

[Iotup]

Ok, merci beaucoup !

J'ai par contre une dernière question:
La matrice vérifie M^2 = -I2
Donc avec le déterminant on a (det M)^2 = det (-I2) = -1
Donc det(M)= i
Comment une matrice réelle peut elle avoir un déterminant valant i ?

[Le_chat]

Parce que det(-I2)=1? :p

[Iotup]

Ok, je vais dormir... :ptdr:

Merci beaucoup !