Limites composés (ln(x))^n * x^(0,5)

par **itaipe** » 30 Sep 2012, 07:45

Bonjour à tous,

J'aimerais calculer 2 limites :

L'application f est telle que f(x)=(ln(x))^(n) * x^(1/2) (racine de x) avec n un entier naturel non nul

Je cherche la limite en 0+ de f et en +infini de x--> f(x)/x

J'ai tout essayé : changement de variable, factorisation, croissance comparée avec le théorème des gendarmes et rien n'aboutit.

Merci de votre aide !

par **Anonyme** » 30 Sep 2012, 08:19

Dans ton cours tu connais normalement la limite de

quand x tend vers + infini

Utilise ce résultat en écrivant

par **Anonyme** » 30 Sep 2012, 08:39

Sais tu que

et

au voisinage de

?

par **itaipe** » 30 Sep 2012, 19:13

x^a vaut l'infini et idem pour (ln(x))^b

par **Anonyme** » 30 Sep 2012, 19:35

itaipe a écrit:x^a vaut l'infini et idem pour (ln(x))^b

oui
Cela permet cependant de préciser que

tend moins vite que

vers +infini quand x tend vers +infini

ON a

au voisinage de

?

donc
limite de

tend vers 0 quand x tend vers +infini

par **itaipe** » 30 Sep 2012, 20:03

Je suis d'accord mais le problème c'est que c'est valable pour le même a et b sinon comment démontrer cette croissance comparée ?

De plus ce n'est pas sur x^b mais (racine(x))^b mais cela tend aussi vers 0 en utilisant le htm des gendarmes.

Donc comment démontrer la croissance comparée (que un terme tend plus vite que l'autre), avec a différent de b (a et b les exposants)?

par **Anonyme** » 30 Sep 2012, 20:54

Si tu ne connais pas

et

au voisinage de

?

regarde dans un livre de maths ou sur internet la démonstration de cette propriété (si elle t'intéresse)

C'est est une propriété très connue et souvent utilisée

Et qui permet de répondre à la question de ton exo : Quelle est la limite de f(x)/x quand x tend vers +infini

ps)

par **itaipe** » 01 Oct 2012, 19:35

D'accord mais je ne trouve pas la démonstration sur internet et pour la limite en 0+ tu aurais une idée ?

par **Anonyme** » 01 Oct 2012, 20:23

itaipe a écrit:D'accord mais je ne trouve pas la démonstration sur internet et pour la limite en 0+ tu aurais une idée ?

pour démontrer que

et

au voisinage de

il suffit de démontrer que

au voisinage de

Est ce que tu sais faire cette démonstration (dont le résultat est très souvent utilisé, déjà au lycée en TS ou TES)

par **itaipe** » 01 Oct 2012, 21:10

C'est quoi le o dans ln(x)=o(x) ? Le chiffre 0 ?

par **Anonyme** » 01 Oct 2012, 21:19

itaipe a écrit:C'est quoi le o dans ln(x)=o(x) ? Le chiffre 0 ?

C'est la notation de Landau qui veut dire "négligeable" et qu'on peut aussi noter ln(x) << x en +infini

par **Anonyme** » 02 Oct 2012, 21:19

Pour démontrer

ptitnoir a écrit: au voisinage de

Il suffit de démontrer que limite de

quand x tend vers +infini

par **itaipe** » 02 Oct 2012, 21:27

Je sais comment on démontré cela mais je ne vois pas comment passer à ln^b/a

par **Anonyme** » 03 Oct 2012, 09:34

Si tu sais démontrer que limite de

quand x tend vers +infini

cela veut dire que

au voisinage de

ET on peut en déduire que

et

donc que

Conclusion

au voisinage de

Limites composés (ln(x))^n * x^(0,5)

Limites composés (ln(x))^n * x^(0,5)

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