Demonstration sur les suites

[PRC]

Bonsoir,

Je n'arrive pas à démontrer cette égalité :
1^3+2^3+...+n^3 = (1+2+3+...+n)^2

Merci pour votre aide !

[Nightmare]

Salut,

as-tu essayé par récurrence?

[PRC]

Je me doute qu'il faut faire par récurrence (c'est un exercice d'application du raisonnement par récurrence) mais je ne sais pas comment m'y prendre...

[Nightmare]

Qu'as-tu essayé? Le principe de récurrence est clair :

1) Montrer que la propriété est vraie au rang initial (ici n=1)

2) Montrer que si la propriété est vraie au rang n, elle l'est au rang n+1

[PRC]

De quelle manière puis-je calculer la propriété au rang initial ?
Ce sont les pointillés qui me bloquent...

[Nightmare]

Il faut déjà bien la comprendre cette propriété. Que dit-elle pour n=1? pour n=2? Pour n=20?

[PRC]

Ah oui, je partais mal déjà...
Pour n=1 on a bien 1^3=1^2=1
Pour n=2 on a bien 1^3+2^3=(1+2)^2=9
Je recommence tout alors...

[PRC]

Par contre, au moment de l'hérédité j'écris :
Soit k un entier fixé,
Supposons que (Pk) soit vraie,
Donc ...............
Je ne sais pas comment l'écrire ici...

[Nightmare]

Pour l'hérédité, on suppose la propriété vraie pour k, on veut montrer qu'elle est vraie pour k+1.

Dire qu'elle est vraie au rang k, ça veut dire que (1+2+...+k)^2=1^3+2^3+...+k^3.

A partir de ça, on voudrait montrer que (1+2+...+k+(k+1))^2=1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3.

Je te laisse essayer.

[PRC]

Je pars de ça : (1+2+...+k)^2=1^3+2^3+...+k^3
Ou de ça plutôt (1+2+...+k+(k+1))^2 ?

[Nightmare]

La première c'est ce qu'on présuppose, donc on ne va pas partir d'elle mais l'utiliser.

On veut montrer que (1+2+...+k+(k+1))^2=1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3. Pour ça effectivement, on peut partir de (1+2+...+k+(k+1))^2 et en utilisant ce qu'on présuppose essayer de montrer que ça vaut bien 1^3+...+(k+1)^3

[PRC]

Je ne vois pas quoi faire à part développer (1+2+...+k+(k+1))^2 qui, je pense, n'est pas la bonne solution... !

[Nightmare]

Pourquoi pas? A priori, on a même pas d'autres choix que de développer.

Cela dit, il faut le faire intelligemment. On a déjà un résultat sur (1+2+...+k)², l'idée serait donc de développer (1+2+...+(k+1))² en essayant de faire apparaître (1+2+...+k)².

Pour ça, je te propose de développer (1+2+...+(k+1))² en utilisant l'identité remarquable (a+b)²=a²+2ab+b² en prenant a=1+2+...+k et b=k+1

[PRC]

Pour ça, je te propose de développer (1+2+...+(k+1))² en utilisant l'identité remarquable (a+b)²=a²+2ab+b² en prenant a=1+2+...+k et b=k+1

Je n'y avait pas pensé ! Je m'y remets de suite... !

[PRC]

J'ai donc
(1+2+...+k+(k+1)² = (1^3+2^3+...+k^3)+(k+1)(2*(1+2+...+k)+(k+1))
Mais la...

[Nightmare]

Ok, tout ce qu'il reste à montrer, c'est que 2(k+1)(1+2+...+k)+(k+1)² = (k+1)^3. Tu es d'accord avec ça?

Je te laisse alors essayer de le montrer. Au passage, connais-tu une expression simple de 1+2+...+k ? Elle pourrait nous aider.

[PRC]

Ok, tout ce qu'il reste à montrer, c'est que 2(k+1)(1+2+...+k)+(k+1)² = (k+1)^3. Tu es d'accord avec ça?

Tout à fait d'accord.

Je te laisse alors essayer de le montrer. Au passage, connais-tu une expression simple de 1+2+...+k ? Elle pourrait nous aider.

Non...

[Nightmare]

Dans ce cas, je te propose de montrer (par récurrence ou d'une autre façon si tu en vois une) que 1+2+...+n = n(n+1)/2

[PRC]

J'essaierai de le montrer ultérieurement car je n'ai plus le temps...
J'ai donc remplacé 1+2+...+n par n(n+1)/2, j'ai développé et simplifié et je me retrouve donc avec (1+2+...+k+(k+1))²=1^3+2^3+k^3+(k+1)^3 !
Merci beaucoup !!!!!!!

[Nightmare]

Parfait!

Il est tout de même étrange qu'on ne te donne pas la formule 1+2+...+n=n(n+1)/2 quelque part (soit en préambule, soit dans le cours, soit dans un autre exercice déjà traité).

:happy3: