Norme logarithmique

[denver]

Bonjour,

J'ai un petit problème concernant la "norme logarithmique". J'arrive pas à trouver beaucoup de choses à ce sujet sur internet.

Voila, on défini la norme logarithmique (qui n'est pas une norme mais on l'appelle ainsi apparement) d'une matrice A par:

n(A) = ou c'est vecteur x transposé

Je dois montrer que n(A) est égal à la plus grande valeur propre de


On m'a dit de remarquer que était une matrice symétrique donc diagonalisable et que par conséquent, il existait une matrice U orthogonale tel que = D.

Jusqu'ici aucuns problèmes.

Ensuite, on m'a dit de multiplié par un vecteur à gauche des deux côtés et de faire pareil à droite par x un vecteur. Donc, j'ai réalisé cette étape sans problème.

Finalement, on me demande de conclure en effectuant le changement de variable x=Uy =>

Quelqu'un pourrait-il m'aider à demontrer cela?

Merci d'avance

[Luc]

Bonjour Denver,

n(A) est essentiellement la borne supérieure du produit scalaire de avec sur les vecteurs de norme euclidienne 1.
L'égalité permet de te ramener au cas d'une matrice symétrique comme tu l'as remarqué.
Une matrice symétrique est diagonalisable, donc avec et
Il faut utiliser ensuite qu'une matrice orthogonale préserver le produit scalaire : , et est bijective car est orthogonale, donc . Il ne te reste donc plus qu'à regarder le cas d'une matrice diagonale.

Luc