V.a.r

[Harlow]

Soit X une V.A.R sur N* et vérifiant la propriété il existe k appartenant à l'intervalle ouvert 0;1 tel que P(X=n)=kP(X>=n) pour n non nul
1°)Déterminer P(X>=1) puis P(X=1)
2°)Déterminer P(X>=2) puis P(X=2)
3°)Déterminer P(X>=3) puis P(X=3)
4°)Conjecturer l'expression de P(X=n) puis démontrer votre conjecture puis donne E(X) et V(X)

[girdav]

Bonjour,
qu'est-ce que tu as tenté ?

[Harlow]

Bonjour,
qu'est-ce que tu as tenté ?

Bonjour, en fait je ne sais pas comment commencer, je n'ai pas bien compris l'exercice

[Sylviel]

Applique la propriété que tu as avec un n bien choisit pour ta première question, qu'obtiens tu ?

[chan79]

Soit X une V.A.R sur N* et vérifiant la propriété il existe k appartenant à l'intervalle ouvert 0;1 tel que P(X=n)=kP(X>=n) pour n non nul
1°)Déterminer P(X>=1) puis P(X=1)
2°)Déterminer P(X>=2) puis P(X=2)
3°)Déterminer P(X>=3) puis P(X=3)
4°)Conjecturer l'expression de P(X=n) puis démontrer votre conjecture puis donne E(X) et V(X)

Salut
Que peut-on dire de P(X>=1) ?

[Harlow]

Salut
Que peut-on dire de P(X>=1) ?

Ben qu'elle existe..je sais pas...

[chan79]

Ben qu'elle existe..je sais pas...

X est VAR sur N* donc P(X>=1)=1
tu dois trouver P(X=1)=k

[Harlow]

X est VAR sur N* donc P(X>=1)=1
tu dois trouver P(X=1)=k

donc
P(X=1)=kP(X>=1)=k
P(X>= 2)=1-P(X=1)=1-k
P(X=2)=kP(X>=2)=k(1-k)
P(X>=3)=1-P(X=1)-P(X=2)=1-k-k(1-k)=(1-k)^2
P(X=3)=k(1-k)^2

[chan79]

donc
P(X=1)=kP(X>=1)=k
P(X>= 2)=1-P(X=1)=1-k
P(X=2)=kP(X>=2)=k(1-k)
P(X>=3)=1-P(X=1)-P(X=2)=1-k-k(1-k)=(1-k)^2
P(X=3)=k(1-k)^2

oui, c'est ce que je trouve, et la récurrence marche bien

[Harlow]

oui, c'est ce que je trouve, et la récurrence marche bien

Je n'arrive pas à trouver la conjecture...

[chan79]

Je n'arrive pas à trouver la conjecture...

p(X=1)= k = k(1-k)^0
p(X=2)=k(1-k)=k(1-k)^1
p(X=3)=k(1-k)²

[Harlow]

p(X=1)= k = k(1-k)^0
p(X=2)=k(1-k)=k(1-k)^1
p(X=3)=k(1-k)²

Merci de m'avoir aidé

[chan79]

Merci de m'avoir aidé

De rien
Au fait, E(X)=1/k

[Harlow]

De rien
Au fait, E(X)=1/k

En fait, je n'arrive pas à faire ma récurrence...je n'en ai jamais fais avec des variables
Et comme trouve tu E(X) et V(X)?Enfin quelle formule utiliser?

[chan79]

En fait, je n'arrive pas à faire ma récurrence...je n'en ai jamais fais avec des variables
Et comme trouve tu E(X) et V(X)?Enfin quelle formule utiliser?

p(X=1)= k = k(1-k)^0
p(X=2)=k(1-k)=k(1-k)^1
p(X=3)=k(1-k)²
on suppose que p(X=n)=k(1-k)^(n-1)
1=p(X=1)+p(X=2)+..+p(X=n)+P(X>=n+1)
1=k+k(1-k)+k(1-k)²+k(1-k)³+...+k(1-k)^(n-1)+p(X>=n+1)
on en déduit
p(X>=n+1)=1-k-k(1-k)-k(1-k)²-k(1-k)³-...-k(1-k)^(n-1)
p(X>=n+1)=1-k(1+(1-k)+(1-k)²+...+(1-k)^(n-1))
p(X>=n+1)=1-k(1-(1-k)^n)/(1-(1-k))
p(X>=n+1)=1-1+(1-k)^n
p(X>=n+1)=(1-k)^n
donc
P(X=n+1)=k*p(X>=n+1)=k*(1-k)^n cqfd

[chan79]

p(X=1)= k = k(1-k)^0
p(X=2)=k(1-k)=k(1-k)^1
p(X=3)=k(1-k)²
on suppose que p(X=n)=k(1-k)^(n-1)
1=p(X=1)+p(X=2)+..+p(X=n)+P(X>=n+1)
1=k+k(1-k)+k(1-k)²+k(1-k)³+...+k(1-k)^(n-1)+p(X>=n+1)
on en déduit
p(X>=n+1)=1-k-k(1-k)-k(1-k)²-k(1-k)³-...-k(1-k)^(n-1)
p(X>=n+1)=1-k(1+(1-k)+(1-k)²+...+(1-k)^(n-1))
p(X>=n+1)=1-k(1-(1-k)^n)/(1-(1-k))
p(X>=n+1)=1-1+(1-k)^n
p(X>=n+1)=(1-k)^n
donc
P(X=n+1)=k*p(X>=n+1)=k*(1-k)^n cqfd

E(X)=1*k+2k(1-k)+3k(1-k)²+4k(1-k)³+....
on obtient l'égalité (1): E(X)=k(1+2(1-k)+3(1-k)²+4(1-k)³+ ... )
par ailleurs
1+x+x²+x³+ ... + x^n=(1-x^(n+1))/(1-x)
en dérivant
1+2x+3x²+4x³ + ... + n*x^(n-1)=((-(n+1)*x^n)(1-x)+(1-x^(n+1))/(1-x)²
si x<1 et quand n tend vers l'infini
1+2x+3x²+4x³... = 1/(1-x)²
On transforme alors l'égalité (1) ci-dessus en remplaçant les (1-k) par x
E(X)=k(1+2x+3x²+4x³... )=k*1/k²=1/k
C'est le même genre de calcul pour V(x)
merci de confirmer quand tu auras les résultats