Problème d'arythmétique

[kedudur]

bonjour,
on doit déterminer les entiers naturels n tel que (11^n)+10 soit divisible par 9.
1) determiner les restes de la div par 9 de 2^n pour n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
et en déduire les restes de la div de 2^n par 9 suivant les valeurs de n.
j'ai fait un tableau de conguence et j'ai trouvé les restes: 1,2,4,8,7,5
2) déterminer les valeurs de n tel que (11^n)+10 soit divisible par 9.


j'ai pensé au petit théorème de fermat mais je n'arrive pas a l'appliquer...
j'essai de me servir de la première question mais je n'arrive pas a trouver de lien...

quelqu'un peu t'il m'aider svp.

merci.

[Manny06]

bonjour,
on doit déterminer les entiers naturels n tel que (11^n)+10 soit divisible par 9.
1) determiner les restes de la div par 9 de 2^n pour n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
et en déduire les restes de la div de 2^n par 9 suivant les valeurs de n.
j'ai fait un tableau de conguence et j'ai trouvé les restes: 1,2,4,8,7,5
2) déterminer les valeurs de n tel que (11^n)+10 soit divisible par 9.


j'ai pensé au petit théorème de fermat mais je n'arrive pas a l'appliquer...
j'essai de me servir de la première question mais je n'arrive pas a trouver de lien...

quelqu'un peu t'il m'aider svp.

merci.

à partir de tes calculs tu peux montrer que 2^(n+6)congru à 2^n modulo9 car 2^6 congru à1
ensuite tu ecrit les exposants sous la forme
6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k+4,6k+5
ensuite 11congru à 2 modulo 9

[kedudur]

à partir de tes calculs tu peux montrer que 2^(n+6)congru à 2^n modulo9 car 2^6 congru à1
ensuite tu ecrit les exposants sous la forme
6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k+4,6k+5
ensuite 11congru à 2 modulo 9

merci , je croit sentir l'idée mais j'arrive pas a l'expliquer , je trouve pas ca assez clair...
d'ailleur je croit que je n'ai pas totalement répondu a la première question (déduire en foncion de n les restes...)

[Manny06]

merci , je croit sentir l'idée mais j'arrive pas a l'expliquer , je trouve pas ca assez clair...

tu as trouvé que 2^6 congru à 1 mod 9
donc 2^6n = (2^6)^n est congru à 1 mod 9
donc 2^(6n+r) est congru à 2^r

[kedudur]

oui je suis d'accord . mais je vois pas trop comment exploiter ce resultat pour résoudre mon problème (désolé)

de plus pourquois part on de 2^6 ? (car le reste est 1, c'est ca ?)

[Manny06]

oui je suis d'accord . mais je vois pas trop comment exploiter ce resultat pour résoudre mon problème (désolé)

de plus pourquoi part on de 2^6 ? (car le reste est 1, c'est ca ?)

en principe dans un exercice de ce genre on etudie la suite des restes qui est periodique (ici de periode 6) jusqu'à ce qu'on retrouve un reste deja atteint
c'est le cas ici pour 7 car 2^6 congru à 1 donc 2^7 congru à 2,2^8 congru à 4.......

[kedudur]

merci pour la réponse ,
c'est bien l'idée que j'avais prèssentie...