F(x+y)=f(x)+f(y)

[mathhelp]

je dois résoudre l'exercice suivant mais j'ai un peu de difficultés :
trouver toutes les applications f continues sur R tel que f(x+y)=f(x)+f(y)

[Le_chat]

Salut. Il y a deux méthodes.

Soit tu commences par conjecturer la forme des solutions, tu trouves f(0), et tu essayes ensuite d'exprimer f(n) en fonction de f(1) pour n dans N, puis tu trouves f(-n) en fonction de f(1) pour n dans N, puis exprimer f(q) en fonction de f(1) pour q rationnel, et ensuite par continuité tu trouves f(x) pour x dans R. C'est un peu laborieux mais c'est la méthode 'naturelle'.

Sinon, il y a plus rapide. Dans un premier temps, essaye de résoudre la question si on suppose f en plus dérivable. Puis tu montres grace à une intégration bien choisie que lorsque f est continue et solution, f est nécessairement dérivable.

[globule rouge]

je dois résoudre l'exercice suivant mais j'ai un peu de difficultés :
trouver toutes les applications f continues sur R tel que f(x+y)=f(x)+f(y)

Bonjour =)
Si je peux me permettre, la fonction identité est l'une de ces applications.
Est-ce la seule ? Je ne sais pas ^^

Julie =)

[mathhelp]

d'accord, tout cela devrait m'aider merci :)

[Sylviel]

Juste pour remettre une couche : la première méthode est très instructive, dans le sens où il s'agit d'une illustration d'une démarche classique pour un certain nombre de problèmes (en premier lieu les équations fonctionnelles).