Considérons un pendule...

[aeiouy69]

Considérons un pendule simple avec une masse (M) suspendue à un fil de deux longueurs (L) différentes. Pour de petits angles d’oscillation (;)), la fréquence d’oscillation (et donc le rythme, R) dépend exclusivement de la longueur du pendule, de façon inversement proportionnelle (à la racine carrée de la longueur du pendule). Donc, plus la longueur du pendule est grande, plus la fréquence d’oscillation, c’est-à-dire le rythme, est lent.

Cette assertion qui me semble logique divise et est très controversée autour de moi sans que personne ne puisse donner une explication fondée. Je suis hélas moi-même incapable de démontrer formellement sa justesse (ou pas).
Une âme charitable ?
D'autre part, si l'assertion est juste, pourquoi la restreindre à de petits angles d'oscillation ?

[Le_chat]

Yo!
C'est de la physique.

Pour trouver la pulsation du pendule, on va essayer de trouver une équation vérifiée par celui ci. La position de la masse qui oscille est entièrement déterminée par l'angle qu'elle fait avec la normale, car sa distance au centre du pendule est constante. On note a cet angle.

la vitesse du pendule est donnée par v=L.(da/dt).
Donc son énergie cinétique est .


Son altitude relative, par rapport à sa plus basse altitude est donnée par h=L.(1-cos(a)).
Son energie potentielle est alors Ep=M*g*h,où g est une constante de pesanteur.

Comme le système ne travaille pas (il n'y a pas de perte d'energie, pas de frottements ni rien), l'énergie se conserve:

Ec+Ep est constant au cours du temps. Sa dérivée temporelle est donc nulle, et en dérivant on obtient:


En simplifiant, on obtient: où

Lorsque a est petit (petites oscillations), sin(a) est très proche de a, on obtient alors une équation du type d^2a/dt^2+R^2*a qui donne des solutions oscillantes de pulsation R, et on voit que R ne dépend que de g et de la longueur du pendule.

A noter que l'on prend un pendule parfait, donc qu'il n'y a pas de dissipation.