[MP] Structures algébriques

[Euler07]

Salut

Soit E un ensemble fini non vide muni d'une loi de composition interne associative notée T.
Montrer qu'il existe e de E tel que eTe = e.

[Nightmare]

Salut,

hum, c'est faux à première vue, dans N* munit de l'addition, on ne peut pas trouver de x tel que x+x=x

[Euler07]

Pourtant je ne me suis pas trompé en écrivant l'énoncé

[Nightmare]

Et tu as réussi à en trouver une preuve alors que l'énoncé est faux? Etonnant !

Comment as-tu procédé?

[Euler07]

Oui regarde


:dodo:

[Nightmare]

Désolé, l'hypothèse "fini" m'est passée sous le nez.

[Nightmare]

Je pense avoir trouvé tout aussi simple mais moins "à la main" :

Il suffit de se placer dans un sous-ensemble A de E stable par T. Si on le prend le plus petit possible, il est clair que pour un élément x dedans, xTy parcourt A tout entier lorsque y parcourt lui même A, si bien qu'il existe au moins un élément y' tel que xTy'=x.

Et si l'on considère tous les éléments y dans A qui vérifient xTy=x (qu'on sait à présent non vide), il est lui même stable par T, donc vaut A tout entier. En particulier, comme x est dans A, xTx=x.

[ffpower]

Remarque : ça reste vrai si E est et un espace topologique compact ( et la loi sur E continue ). D'ailleurs, la preuve de Nightmare s'adapte assez bien ( modulo un certain "outil" )

[benekire2]

Je pense avoir trouvé tout aussi simple mais moins "à la main" :

Il suffit de se placer dans un sous-ensemble A de E stable par T. Si on le prend le plus petit possible, il est clair que pour un élément x dedans, xTy parcourt A tout entier lorsque y parcourt lui même A, si bien qu'il existe au moins un élément y' tel que xTy'=x.

Et si l'on considère tous les éléments y dans A qui vérifient xTy=x (qu'on sait à présent non vide), il est lui même stable par T, donc vaut A tout entier. En particulier, comme x est dans A, xTx=x.

Salut nightmare , il y a des passages qui restent flous pour moi dans ta preuve, pourquoi pour un élément s dans ton "sous espace stable minimal" alors xTy parcourt A tout entier lorsque y parcourt lui même A ?? De même comment peut on affirmer que "l'ensembe de tous les éléments y dans A qui vérifient xTy=x est stable par T, donc vaut A tout entier"
désolé je ne vois pas,

Merci de m'éclaircir !

[Nightmare]

Salut bene !

Pour tes deux questions, on utilise la définition de la minimalité de A :

A est la plus petite partie T-stable de E. A partir de là, si on trouve une partie A' incluse dans A et elle même T-stable, c'est donc que c'est A toute entière.

Pour x fixé dans mon A minimal, l'ensemble des xTy pour y variant dans A est d'une part bien entendu inclus dans A (puisque x et y le sont et que A est stable par T), et en plus il est lui même stable par T, donc vaut A tout entier comme dit précédemment.

De même, l'ensemble des y dans A tels que xTy=x est par définition inclus dans A et T-stable donc vaut A tout entier aussi.

Edit : J'ai oublié aussi de préciser que l'existence de cette partie T-stable minimale est due à la finitude de A

[benekire2]

:lol3:

Salut bene !

Pour tes deux questions, on utilise la définition de la minimalité de A :

A est la plus petite partie T-stable de E. A partir de là, si on trouve une partie A' incluse dans A et elle même T-stable, c'est donc que c'est A toute entière.

Pour x fixé dans mon A minimal, l'ensemble des xTy pour y variant dans A est d'une part bien entendu inclus dans A (puisque x et y le sont et que A est stable par T), et en plus il est lui même stable par T, donc vaut A tout entier comme dit précédemment.

De même, l'ensemble des y dans A tels que xTy=x est par définition inclus dans A et T-stable donc vaut A tout entier aussi.

Edit : J'ai oublié aussi de préciser que l'existence de cette partie T-stable minimale est due à la finitude de A

Merci de l'explication ! En fait je me rend compte que (malgré relecture de ton message) je confondais A et E ( notre ensemble à la base ) et j'avais un peu de mal à comprendre ..

En tout cas ce genre d'exos n'est jamais simple je trouve , pour la méthode proposée par Euler , faut quand même la trouver ... Et la tienne , j'ignore d'où elle sort ! C'est parce que tu as fait pas mal de trucs dans le genre et tu as trouvé un truc "cool" ou alors c'est que il y a une "théorie" que tu connais et qui fait que tu as essayés certaines méthodes sans (trop) réfléchir ?

Merci beaucoup

[Nightmare]

rien de miraculeux, je suis parti sur l'étude des xTy pour un x fixé, puis j'ai essayé de trouver des conditions sur x et des restrictions sur y pour qu'on puisse assurément trouver un point fixe. La méthode est je dirais "banale".

[Euler07]

T'es en master aussi, cela doit passait tout seul, non ?

[Nightmare]

C'est plus vraiment une question de niveau puisque je n'ai plus fait ce "genre" d'exercice depuis ma sup, par contre le fait d'en avoir fait des tonnes sur le sujet à l'époque ben ça c'est sûr que ça crée certains automatismes. Enfin ça c'est pas un mystère, on dit bien assez souvent qu'il faut faire et refaire des exercices :lol3:

[Euler07]

Ah d'accord, c'est vrai... Faut faire et encore encore ce genre d'exo pour créer un automatisme

[benekire2]

rien de miraculeux, je suis parti sur l'étude des xTy pour un x fixé, puis j'ai essayé de trouver des conditions sur x et des restrictions sur y pour qu'on puisse assurément trouver un point fixe. La méthode est je dirais "banale".

Tu as l'air de dire que ta méthode est en fait un "classique" , sur quel genre d'exos ça s'utilise ? Parce que je ne l'ai jamais rencontrée ... et ça me parrait tellement sortit de nulle part (pourtant les histoires de sous ensembles stables c'est logique , mais le cheminement est pas trivial .. ) , et la méthode proposée en solution par Euler me parrait plus que parachutée ... :mur:

[Nightmare]

Parce que je ne l'ai jamais rencontrée ...

Bah en même temps, c'est un peu normal, je doute que tu aies fait à l'heure actuelle assez d'exercices sur le sujet pour avoir ce genre d'automatisme. Il est clair que pour pouvoir décréter que quelque chose est "classique", il faut déjà l'avoir vu soit même un bon nombre de fois et ça, autodidacte ou non, ça ne viendra qu'avec les années, à force de voir et revoir des exercices qui ont plus ou moins un rapport avec ce qui a déjà été fait les années précédentes, et puis souvent des exercices sont repris quelques années plus tard par les profs, sous un air de "trivialité" alors qu'à l'époque ça nous paraissait monstrueux.

Bref, c'est pas pour rien que je dis tout le temps qu'en maths, il faut beaucoup de recul pour comprendre vraiment bien les choses. Par exemple, le cours de théorie de Galois que je suis en train de suivre cette année, bien que je le comprenne proprement et le trouve assez simple, je pense que ça ne sera que dans quelques années, une fois que ça aura bien mijoté dans ma tête, que j'y trouverai tous les résultats vus vraiment triviaux.

Edit : Bon ça peut être un peu prétentieux de penser croire un jour trouver trivial la théorie de Galois, mais en fait, s'il y a bien une chose que j'ai comprise en suivant ce cours, c'est que c'était effectivement une théorie à la base très simple, à condition de bien voir les choses, et c'est pour "voir les choses" qu'on a besoin de ce recul

[Euler07]

C'est vrai ce que tu dis dans ta dernière partie

[benekire2]

Oui , tu as tout a fait , raison, j'ai très peu de recul sur ce que je fais , et l'algèbre structurelle encore plus (puisque .. j'en ai pas vraiment fait, juste les définitions comme tu dit ) ! Peut être que dans ton cours d'algèbre sutructurelle l'année dernière ( ou l'année d'encore avant) le genre d'exo était repris sous un air de "trivialité" ..

Bon en tout cas merci des réponses :lol3:

[sambaseye]

c m parai vrement bisar cs chose.......... :mur: