Sous_groupes de Z

[crazymaths]

bonjour tout le monde!
je me suis bloquée sur un exercice et j'aimerais bien que vous m'aidiez
l'exercice est comme suit:
montrer que les seules sous-groupes de Z sont les parties de Z de la forme nZ,où n décrit N
je vous en pris aidez moi!
merci

[Ben314]

Salut.
Utilise le fait que toute partie non vide de N admet un plus petit élément...

[crazymaths]

salut Ben314,

d'abord merci beaucoup pour ton aide, mais j'ai pas compris, s'il vous plait veuillez etre plus clair?
encore merci

[Ben314]

Pour faire dans le détail :
1) Il faut évidement montrer (avec la définition de sous groupe) que, pour tout entier naturel n, l'ensemble des multiples de n (que l'on note nZ) est bien un sous groupe (additif) de Z.
2) Réciproquement, on considère un sous-groupe (additif) H de Z.
- Si H={0} alors H=0Z est c'est bien un nZ avec n dans N.
- Sinon H contient au moins un élément non nul et, comme lorsqu'il contient un entier x, il est forcé de contenir aussi -x (définition d'un sous groupe), cela signifie qu'il contient au moins un entier strictement positif.
L'ensemeble de entiers strictement positif contenu dans H est donc non vide et on peut en considérer le plus petit élément. Notons le n.
Il reste à montrer que H est forcément égal à nZ. C'est une égalité entre ensembles que l'on montre naturellement par double inclusion :
- L'ensemble nZ est contenu dans H (trés façile)
- H est contenu dans nZ (un peu plus difficile : on part évidement d'un x dans H et il faut montrer qu'il est dans nZ. Pour cela on effectue la division euclidienne de x par n)

[crazymaths]

merci beaucoup beaucoup Ben314
maintenant je commence à voir la reponse, c'est plus clair
je vais me servir de ton aide pour resourde l'exercice
encore merci beaucoup beaucoup