Tangente et perpendiculaire

[Thisha]

j'ai une parabole d'équation P(x) = ax²
on cherche l'ensemble des points M (x,y) de P tel que la perpendiculaire à la tangente en M à P passe par le point N (x',y').

Je vois pas comment partir pour calculer la tangente.

Quand on à l'équation de la tangente son coef. directeur est la norme de (MN).


Merci

[Ericovitchi]

Quand on à l'équation de la tangente son coef. directeur est la norme de (MN).

La norme de MN ? tu dois te tromper dans les mots que tu emploies, tu veux dire la normale ?. Tu peux dire que la tangente est perpendiculaire à MN et que donc le produit des coefficients directeur est -1 si tu veux.

Déjà l'équation d'un tangente à une fonction y=f(x) en un point m c'est y=f'(m)(x-m)+f(m)
donc ici c'est Y=2am(x-m)+am²=2amx-am²

Maintenant en te servant du fait que le produit des coef directeur vaut -1 et que la normale passe aussi par le point (m,f(m) trouve l'équation de la normale.

Puis il te suffira de dire qu'elle passe par le point N

[Thisha]

oui la normal.
:id:
Y=2amx-am²

vecteur directeur c'est (2am , 1)
donc la droite MN 2amx+y+c=o
il passe par le point N (x' ,y')

donc 2amx+y-(2amx'+y') = 0

Merci Ericovitchi

[Ericovitchi]

Et alors c'est pas fini ! c'est quoi l'ensemble des points M ?

[Thisha]

je me suis trompée dans l'équation de la tangente ?

ça serait pas plutôt x+2amy-(2amx'+y')=0

et l'ensemble des points ça serait les points à l'intersection de la droite et de la parabole!

[Ericovitchi]

tu fais un peu des mélanges.

Reprenons :
La tangente c'est y=2amx -am²

cherchons la normale sous la forme y=Ax+B on sait que A (2am) = -1 parce qu'elle est perpendiculaire à la tangente et puis elle passe par le point M (m, am²) donc

am²= (-1/2am )(m) + B donc B= am²+1/2a et donc l'équation de la normale c'est Y=-X/2am + am²+1/2a

maintenant il faut dire qu'elle passe par N(x',y') donc y'=-x'/2am + am²+1/2a

Ca c'est une équation en m qui donne les abscisses des points de la parabole qui répondent à la question.

[Thisha]

j'ai du mal à comprendre parce qu'on a pas vu les même formule
comme celle que A(2am) =-1 et nos équations de droite ax+by+c=0 ça me perturbe :hum:

la tangente : y=2amx -am²
2amx-y-am² = 0

La droite MN : Y=-X/2am + am²+1/2a

-x-2amy+c=0 cette droite passe par le point N ( x',y')
c= x'+2amy' donc la droite MN à les coordonnée -x-2amy+(x'+2amy')=0