Trigonomètrie

[mateo49]

Bonjour tout le monde ca fait un moment que je suis pas venu sur le site mais la je bloque sur un exercice:

Etant donné l'équation: cos(a)cos(x)-sin(a)cos(b)sin(x)= cos(b)
on demande de calculer tg(x/2)

et les conseils que l'on me donne sont:
- Utiliser dans l'équation la tangente de l'arc moitié
- On doit aboutir à une équation du second degrè qui permettra de calculer tg(x/2)


Après plusieurs lignes de développement, je n'y arrive toujours pas.
Merci de m'aider.

[Ericovitchi]

tu as utilisé sin x=2t(1+t²) , cos x= (1-t²)/(1+t²) ?

Quelle est l'équation du second degré en t² à laquelle tu as abouti ?

[gigamesh]

salut,
en posant t=tan(x/2),
il vient cos(x)=(1-t²)/(1+t²) et sin(x)=2t/(1+t²).

Ca marche pas après ?

[mateo49]

oui j'ai bien remplacé sin(x) et cos(x) mais je n'aboutie pas sur une équation du second degré

[mateo49]

cos a - cos a * tg²(x/2) - 2sin a * cos b * tg(x/2) - cos b - cos b * tg²(x/2) = 0

[Ericovitchi]

oui ça doit être ça. regroupes les termes
(cosa+cosb) t² + 2tsina cos b + cosb - cos a = 0

Et maintenant une équation du second degré, ça se résous comment ?

[mateo49]

Haaaa ok j'y vois plus clair, merci je vais le finir demain. A table!!!!

[Ericovitchi]

tu vas avoir une bonne surprise, ton discriminant peut se transformer en un carré parfait et le résultat final est assez élégant.

[mateo49]

Je sais pas comment tu fais pour trouver ce discriminant parfait puisque moi je trouve:
(2sin a *cos b)²+4*(cos² a-cos² b)
et le moin dans cette parenthèse me bloque pour la suite du calcul, parce que comment faire la racine de cette fonction?

[mateo49]

une aide s'il vous plait, j'ai cette équation du second degrè et je n'arrive pas a trouver un bon discriminant pour la suite de mes calculs:

(cosa+cosb) t² + 2tsina cos b + cosb - cos a = 0

Moi je trouve pour le discriminant

(2sin a * cos b)² + 4(cos² a - cos² b)

Mais ce n'est pas un carré parfait :triste:

[mathelot]

Après plusieurs lignes de développement, je n'y arrive toujours pas.

Bonjour,

Mais comment fais-tu ?

[mateo49]

Ha non non non je suis pas d'accord avec toi, tu as oublié de mettre cos b dans ton équation:


(cosa+cosb) t² + 2(sina cosb) t + (cosb - cos a) = 0

Donc ton résultat n'est pas le bon

[mathelot]

Ha non non non je suis pas d'accord avec toi, tu as oublié de mettre cos b dans ton équation:


(cosa+cosb) t² + 2(sina cosb) t + (cosb - cos a) = 0

Donc ton résultat n'est pas le bon

oui, exact. corrigeons:

[mateo49]

Merci pour ton aide mathelot, ca m'a été très utile pour finir l'exercice.