Question de méthode pour les suites

par **Emilie-** » 30 Aoû 2010, 11:30

Bonjour, j'ai un gros problème de méthode concernant les suites, je ne sais jamais comment résoudre des questions "simples".

On considère la suite Vn, V1= 5/6 , V2= 11/12 et Vn+2= 1/2 ( Vn+1 + Vn).

Je dois calculer Vn en fonction de n. Comment faire ?

J'espère que vous pourrez m'aider.

par **lirabo** » 30 Aoû 2010, 11:50

Essaye de trouver K et C afin de transformer ton équation en

tu devras résoudre une équation du second degré
ensuite facile, tu considères la suite

et tu as

tu résous u puis tu en déduis v

par **Emilie-** » 30 Aoû 2010, 13:35

Merci lirabo pour cette réponse, mais je ne comprend pas bien.
S'agit-il d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 ?

Car dans ce cas j'ai :

Vn+2 - 1/2Vn+1 + 1/2 Vn=0

Or j'obtient un delta négatif, donc je ne peux faire la suite.

par **Alpha** » 30 Aoû 2010, 13:45

Emilie- a écrit:Merci lirabo pour cette réponse, mais je ne comprend pas bien.
S'agit-il d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 ?

Car dans ce cas j'ai :

Vn+2 - 1/2Vn+1 + 1/2 Vn=0

Or j'obtient un delta négatif, donc je ne peux faire la suite.

C'est bien une suite récurrente linéaire d'ordre 2, mais tu as fait une erreur de signe.

Vn+2 - 1/2Vn+1 - 1/2 Vn=0

par **Emilie-** » 30 Aoû 2010, 14:05

Ah oui merci. J'ai donc fait le calcul, je trouve
Vn= 1/9 * (-1/2)^n +8/9

Cela semble t-il cohérent? Ais-je un moyen de vérifier ce résultat ?

Après j'ai une autre question qui se rattache à celle-ci et je ne vois pas du tout quoi faire:

On considère Wn définie par W1= 3/2 et W2=9/4 et
Wn+2= 1/2 ( Wn+1 + Wn) +1

Monter que la suite Vn définie par Vn= Wn - (2n) / 3 vérifie les hypothèses de la question précédente et en déduire, pour tout entier naturel n non nul, la valeur de Wn en fonction de n

Que dois-je faire ?

par **Ericovitchi** » 30 Aoû 2010, 14:09

Simpolement tu calcules Vn+2 - 1/2Vn+1 + 1/2 Vn et tu devrais trouver 0
Puis comme tu as déjà Vn en fonction de n tu en déduis Wn en fonction de n

par **Emilie-** » 30 Aoû 2010, 14:37

D'accord, mais je ne vois pas comment montrer que la suite Vn vérifie les hypothèses de la question précédente ?

Dois-je seulement remplacer Vn par ce que j'ai trouver dans l'expression
Vn= Wn - 2n/3 ?

par **Ericovitchi** » 30 Aoû 2010, 14:52

non tu pars de Vn= Wn - (2n) / 3
donc vn+1 = ... et vn+2= ....
puis tu assembles Vn+2 - 1/2Vn+1 - 1/2 Vn
et en utilisant Wn+2= 1/2 ( Wn+1 + Wn) +1, il faut que tu trouves 0

tu en déduis que Vn satisfait Vn+2 - 1/2Vn+1 - 1/2 Vn =0
donc tu en déduis que vn= .... ce que tu as trouvé avant
et tu en déduis Wn=Vn+2n/3

par **Emilie-** » 30 Aoû 2010, 15:06

je trouve:

Vn+2 - 1/2 Vn+1 + 1/2 Vn =

Wn+2 - 1/2 Wn+1 + 1/2 Wn + ( -2n -3) /3

= Wn+2 - 1/2Wn+1 + 1/2 Wn - 2n/3 -1

Ce qui ne semble pas correspondre

par **Ericovitchi** » 30 Aoû 2010, 15:55

attention à l'erreur de signe signalée plus haut
Vn+2 - 1/2Vn+1 - 1/2 Vn

Vn+2=Wn+2-2(n+2)/3
vn+1=Wn+1-2(n+1)/3
vn=Wn-2n/3

donc vn+2-vn+1/2 -vn/2= .... les Wn et les n disparaissent bien

PS. N'aurais tu pas oublié d'incrementer les n dans -2n/3 ?

par **Emilie-** » 30 Aoû 2010, 17:46

Ah oui encore cette erreur, j'ai refait le calcul et je trouve bien à la fin

l'expression: Wn+2 - 1/2( Wn+1 + Wn) -1=0

Mais à partir de là, comment puis-je trouver l'expression de Wn en fonction de n?

par **Emilie-** » 30 Aoû 2010, 19:51

Oui ça y est je trouve bien, Wn+2 - 1/2 ( Wn+1+Wn) -1 = 0

Mais je ne vois pas comment trouver Wn en fonction de n.

par **Ericovitchi** » 31 Aoû 2010, 13:48

En lisant mon post #8 :

tu en déduis que Vn satisfait Vn+2 - 1/2Vn+1 - 1/2 Vn =0
donc tu en déduis que vn= .... ce que tu as trouvé avant
et tu en déduis Wn=Vn+2n/3

par **Emilie-** » 31 Aoû 2010, 18:50

Oui, mais je n'arrive pas à trouver. Pouvez-vous m'aider ?

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