Limite

[minisac]

Bonsoir,

Je suis en train de faire un exercice avec la limite suivante:

lim(x->0+) (sinx)^(tan x) à étudier.



Je voudrais savoir si l'on a le droit de procéder de la manière suivante:

(sin x)^(tan x) <=>0 e^(tan x * ln(sin x)) (propriétés d'équivalence en 0)

posons u(x) = tan x * ln (sin x)

lim (x->0+) tan x = 0 (se rapproche de zéro)

A partir de ce moment là, on peut dire par les propriétés du cours que le produit des deux limites se rapprochera de 0 .

Donc lim (x->0+) u(x) = 0 avec au final lim (x-> 0+) e^u(x) =1.

Peut on procéder comme cela? Car je ne vois pas comment faire autrement ..

Une dernière question: pour d'autres limites à calculer, lorsque x tend vers une valeur autre que 0 (ex: lim (x-> +inf) ..... ), nous n'avons bien plus le droit d'utiliser les propriétés d'équivalence en 0 ? Faut il alors essayer de "transformer" l'écriture de la fonction pour en déduire sa limite?


Merci d'avance pour les réponses que vous pourrez m'apporter,

Bonne soirée,

minisac

[Ben314]

Non, on ne peut pas procéder "comme ça" du fait que, lorsque x->0+ on a sin(x)->0+ donc ln(sin(x))->-oo et tan(x)ln(sin(x)) est une belle forme indéterminé.
Par contre, en écrivant que tan(x)=sin(x)/cos(x) et en se rappelant la limite de t.ln(t) quand t tend vers 0+...

De plus, ta rédaction ne va pas vraiment :
quand tu écrit :

(sin x)^(tan x) 0 e^(tan x * ln(sin x)) (propriétés d'équivalence en 0)

Déjà, c'est pas une équivalence mais une égalité et ensuite, ça n'a absolument rien à voir avec les "propriétés d'équivalence en 0", c'est simplement la définition générale des puissances :
Si a est un réel quelconque et t>0 alors t^a=exp(a.ln(t)) [par définition]
¨
Pour les limites lorsque x tend vers xo non nul, de façon quasi systématique, tu écrit que x=xo+h où h tend vers 0 pour se rammener aux "limites classiques en 0"
De façon nettement moins systématique (ça dépend de la tête de la fonction...), si x->oo, tu peut essayer de poser x=1/h où h tend vers 0...

[minisac]

Mis à part les erreurs que vous m'avez corrigé et dont j'ai pris conscience, je n'ai pas vraiment compris... désolé :/

Mais merci quand même

[Ben314]

Pour tout (pour que et que existe) on a :

Or,
et
donc