T.v.i

par **DJ-Jay** » 12 Jan 2010, 19:53

Bonjour, on vient d'aborder un nouveau chapitre. Et je n'arrive pas à me lancer pour un exo, quelqu'un pourrait-il m'aider. Merci

Soit : f:[0,1]->[0,1] continue
Montrer que ;) n ;)N* ,;)x;)[0,1],f(x)=(1-x)^n

Merci d'avance.

par **Ben314** » 12 Jan 2010, 20:01

Salut,
Pour montrer l'égalité (pour un x) entre deux fonctions, il peut sembler astucieux d'étudier la différence entre les deux fonctions (et montrer que cette différence s'annule, par exemple avec le T.V.I.)...

par **DJ-Jay** » 12 Jan 2010, 20:04

Ok merci je vais méditer, mais c'est le n qui me dérange un peu...

par **Ben314** » 12 Jan 2010, 20:06

DJ-Jay a écrit:Ok merci je vais méditer, mais c'est le n qui me dérange un peu...

Te bile pas,il ne va jouer quasiement aucun rôle dans les calculs (car 0^n=0 et 1^n=1...)

par **DJ-Jay** » 12 Jan 2010, 20:07

Ok merci je me lance

par **DJ-Jay** » 12 Jan 2010, 20:16

Merci beaucoup, j'ai déclaré une fonction g auxiliaire, montré que g(0)*g(1)<0 , d'où l'existence d'un x tq g(x)=0 et donc f(x)-(1-x)^n=0

A bientôt.

par **SlowBrain** » 12 Jan 2010, 20:19

J'espère en tout cas que tu as pensé à faire un dessin!! C'est un joli exo simple fait exprès pour.

par **DJ-Jay** » 12 Jan 2010, 20:26

Un dessin?

par **SlowBrain** » 12 Jan 2010, 20:34

oui, tu dessines [0;1]², une des fonctions (1-x)^n ou n'importe laquelle (continue) telle que f(0)=1 et f(1)=0 (où l'inverse), et tu verras que toute autre fonction continue la croisera. Tu peux aussi de la même manière voire facilement qu'une fonction continue de [0;1] vers [0;1] a un point fixe.

par **DJ-Jay** » 12 Jan 2010, 20:42

Oui je viens de voir ça avec mathematica. Par contre pour le point fixe... lol c'est une notion qu'on verra bientôt en cours je pense (j'espère :p).

par **SlowBrain** » 13 Jan 2010, 09:38

Un point fixe, c'est simple, c'est une solution de l'équation f(x)=x ;) lorsque l'on peut la définir évidemment...

par **Hir** » 13 Jan 2010, 17:01

SlowBrain a écrit: Tu peux aussi de la même manière voire facilement qu'une fonction continue de [0;1] vers [0;1] a un point fixe.

Si la fonction est croissante, elle peut même ne pas être continue.

par **Ben314** » 13 Jan 2010, 17:05

Hir a écrit:Si la fonction est croissante, elle peut même ne pas être continue.

C'est aussi vrai, mais cela n'a plus rien à voir avec le T.V.I. et... c'est nettement plus compliqué à démontrer....

par **Hir** » 13 Jan 2010, 17:08

Exactement :) je trouvais juste le résultat assez fort pour le signaler au passage.

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