Enigme

[bobcena]

Bonsoir,
J'ai un DM dans lequel il y a l'énigme suivante :

Calculez la somme des chiffres du nombre N = (10^1995) - 1995.

Je pense avoir trouvé la solution suivante :

(10^1995) - 1995;
= 1 000 000 000 ... - 1995;
= 999 999 999 ... 8005;


9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9... = 81;
8 + 1 = 9;

8 + 0 + 0 + 5 = 13;
1 + 3 = 4;

9 + 4 = 13;
1 + 3 = 4.

Je pense que la solution est 4.
Tout dépend de l'interprétation de l'énigme.

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?
Merci.

bobcena

[oscar]

Bonsoir


Prends un exemple plus simple puis généralise
Soit 10³ -3 ou 10 ^ 5 - 5

[bobcena]

Merci oscar pour ta réponse.

(10^3) - 3;
= 1 000 - 3;
= 997;

9 + 9 + 7 = 25;
2 + 5 = 7;

--------------------------------------------------------------------------

(10^5) - 5;
= 100 000 - 5;
= 99 995;

9 + 9 + 9 + 9 + 5 = 41;
4 + 1 = 5;

--------------------------------------------------------------------------

Les résultats ne sont pas les mêmes.

bobcena

[Ericovitchi]

non il ne faut additionner les chiffres qu'une fois.

regardes ce que vaut la somme des chiffres de

N=1 --> 9 --> 9
N=2 --> 98 -> 17
N=3 --> 997 --> 25
N=4 --> 9996 --> 33

A ton avis vois tu une logique dans la suite 9, 17, 25, 33 , ... ?

[bobcena]

Oui :
9;
1 + 7 (8);
2 + 5 (7);
3 + 3 (6);
...

[Ericovitchi]

oui mais il ne faut plus faire la somme des chiffres.
Regardes la différence entre chaque nombre.

[bobcena]

Les nombres vont de 8 en 8.

[Ericovitchi]

Oui effectivement.
Alors maintenant il faut que tu en déduises ?

[bobcena]

9 + 8 * 1995 = 15 969;
1 + 15 969 = 15 970;

[Ericovitchi]

C'est pas mal mais ça n'est pas exactement ça.

pour N=1 la somme est 9
pour N=2 la somme est 9+8
pour N=3 la somme est 9+2x8
--------------------------------------
Pour N=N la somme est 9+(N-1)x8

Pour N= 1995 la somme est 9+ 1994 x 8

[bobcena]

Merci Ericovitchi.

Mais il y a une autre solution :
Quand on enlève 1995 à 1 000 000 000 ... , on remarque que tous les chiffres du résultat sont des 9 sauf le 1 qui disparait et les quatre derniers chiffres (8005).

Donc :
SommeChiffresN = (1995 - 1 - 4) * 9 + 8 + 5;
SommeChiffresN = 1990 * 9 + 8 + 5;
SommeChiffresN = 17 910 + 8 + 5;
SommeChiffresN = 17 923;

[Ericovitchi]

oui c'est bien aussi (c'est même mieux)
Sauf que l'on ne trouve pas pareil avec les deux méthodes (mais je n'ai pas eu le temps de creuser pourquoi ? si quelqu'un trouve l'erreur ?)

SommeChiffresN = 1991*9+8+5 = 17932
(car il y a un 9 qui apparait avec la retenu)

[bobcena]

Désolé de ne pas avoir répondu, je n'étais pas disponible.
Et c'est exactement ce que je me disais :

10^1 -> 2 chiffres;
10^1995 -> 1996 chiffres;

En enlevant 8005 à 10^1995, le 1 disparaît, donc il reste 1995 chiffres :

9 * (1995 - 4) + 8 + 5;
= 9 * 1991 + 8 + 5;
= 17 919 + 8 + 5,
= 17 932;