Bloqué DM polynôme de degré 3

par **Thomaso0** » 08 Oct 2009, 14:21

Bonjour / bonsoir.

J'ai un DM à finir pour bientôt j'ai quasiment tout terminé sauf cet exercice que j'ai laissé en suspend car je n'y arrive pas, j'ai résolu une petite partie mais je suis bloqué à l'identification :

Déterminer un polynôme P de degré 3 tel que pour tout réel x on ait :
P(x+1)-P(x)=x²
Avec : P(x) = ax^3 + bx² + cx + d
P(x+1) = a(x+1)^3 + b(x+1)² + c(x+1) + d
Donc : a(x+1)^3 + b(x+1)² + c(x+1) + d - ax^3 - bx² - cx - d = x²
En développant tout j'aboutis à : 3ax² + 3ax + a + 2bx + b + c = x²

et là je suis bloqué je vois pas comment résoudre tout sa pour répondre à la question. Si quelqu'un peut m'aider ce serait vraiment sympa.

Merci d'avance, Thomas.

par **annick** » 08 Oct 2009, 14:52

Bonjour,

Tu en est donc là : 3ax² + 3ax + a + 2bx + b + c = x² ce qui est juste.

Maintenant dans ta partie de gauche, regroupe tes termes en fonction du degré de x .
Puis identifie suivant les degrés de x, la partie gauche et la partie droite de ton équation.
Tu vas ainsi obtenir un système en a, b, c, que tu vas pouvoir résoudre.

Cette méthode est toujours intéressante dans ce type de problème.

par **Thomaso0** » 08 Oct 2009, 15:01

Désolé je ne comprends pas ... je sais factoriser un polynôme du 3ème degré par (x - racine du polynôme) mais là je ne vois pas comment m'y prendre. Pourrais-tu être plus précis si c'est possible dans la méthode à utiliser stp ?

Merci, Thomas.

par **Billball** » 08 Oct 2009, 15:05

3ax² + 3ax + a + 2bx + b + c = x²
3ax² + (3a + 2b)x + (a+b+c) = x²...

identifies mtn

par **annick** » 08 Oct 2009, 15:07

Bon, je reprends :

Tu as :

3ax² + 3ax + a + 2bx + b + c = x²

Soit :

3ax²+x(3a+2b)+(a+b+c)=x²

Donc si tu compares les termes de chaque côté de l'égalité :

3a=1 (comparaison des termes en x²)
3a+2b=0 (comparaison des termes en x)
a+b+c=0 (comparaison des termes sans x)

par **Thomaso0** » 08 Oct 2009, 15:20

ça j'avais compris mais c'est par exemple le 3a = 1 d'ou il vient le 1 ? et les 0 ... c'est sa que je ne comprends pas.

par **annick** » 08 Oct 2009, 15:25

c'est ce que je te disais, si tu compare les termes en x² à droite et à gauche de ton équation, tu as 3ax² d'un côté et 1x² de l'autre, donc 3a=1

De même, pour les termes en x, tu as (3a+2b)x d'un côté et aucun, c'est à dire 0x, de l'autre. Donc 3a+2b=0

Etc....

par **Thomaso0** » 08 Oct 2009, 15:36

Ho... merci beaucoup pour ta patience j'ai compris maintenant j'avais pas vu sa comme sa. Je pensais qu'à la fin on aboutirait sur x = 0 ou un truc comme sa.
Donc le polynôme P sera P(x) = ax^3 ? Puisque a, b et c = 0 et que d n'apparaît pas ?

par **annick** » 08 Oct 2009, 15:38

Non, tu dois résoudre ton système :

(1) 3a=1
(2) 3a+2b=0
(3) a+b+c=0

De (1), tu tires a=...
Tu remplaces alors la valeurs de a dans (2) et tu trouves b=... etc...

par **Thomaso0** » 08 Oct 2009, 15:46

Ah ... c'est compliqué tout sa j'essais une fois là maintenant et après je le ferais sur ma copie.

3a = 1
3a + 2b = 0
a + b + c = 0

a = 1 / 3
b = -1 / 2
c = 1 / 6

P(x)= 1/3x^3 - 1/2x² + 1/6cx

?
Merci beaucoup :)

par **annick** » 08 Oct 2009, 15:49

C'est juste tout ça.
Reprend ton problème à tête reposée et je pense que tu comprendras bien.
Et met cette méthode dans un coin de ta tête car comme je te le disais plus haut, elle sert souvent et est bien pratique.
Bonne fin de soirée à toi.

par **Thomaso0** » 08 Oct 2009, 15:55

Merci, je laisse l'exercice en suspend jusque demain et j'essaierais de le refaire seul.

Encore merci pour tout, Thomas.

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