Développement limité

[Charisma]

Bonjour à tous, j'ai trouvé votre forum sur google. Je suis en licence eco-gestion en cours par correspondance (avec le Cned) et non seulement nos cours ne sont pas très bien fait mais surtout les profs ne nous répondent jamais.

J'en vient donc demander de l'aide ici car j'ai des rattrapages dans pas longtemps.

J'ai du mal avec cet exercice :

Soit f(x)=(x-1) exp (1/x)
1) Donner un DL d'ordre 2 de f(x)/x au voisinage de +¤¤

Au départ je pose h=(1/x) (si x est voisin de plus l'infini, h est voisin de 0+)
Donc f(1/h) = (1/h - 1) exp (h)

f(x)/x = hf(1/h) = (1 - h) exp (h2) = (1-h)eh2

Et à partir de là que faut-il faire ? Je pense qu'il faut calculer les DL d'orde 2 de (1-h) et de eh2 mais je ne vois pas comment faire exactement.

En vous remerciant par avance,
Charisma.

[Sa Majesté]

f(x)/x = hf(1/h) = (1 - h) exp (h2) = (1-h)eh2

Et à partir de là que faut-il faire ? Je pense qu'il faut calculer les DL d'orde 2 de (1-h) et de eh2 mais je ne vois pas comment faire exactement.

Salut

Petite erreur : f(x)/x = hf(1/h) = (1 - h) exp(h)

Et exp(h) = 1 + h + h²/2 + O(h^3)

D'où : hf(1/h) = 1 - h²/2 + O(h^3)

f(x)/x = 1 - 1/(2x²) + O(1/x^3)

[Charisma]

Effectivement, erreur de ma part !

Et merci beaucoup pour la réponse et notamment pour sa simplicité ! (j'ai eu des réponses sur un autre forum beaucoup moins claire...)

Par contre pourquoi O(h^3) ?
Ne serait-ce pas plutôt O(h^2) ?

[Charisma]

En fait non je n'ai pas tout compris...

Je galère avec l'exercice suivant exactement du même type :

Soit f(x)=(x-2)exp(1/2x)
1) Donner un DL d'ordre 2 de f(x)/x au voisinage de +¤¤

Voici ce que je ferais :

Posons h = 1/x.
f(1/h) = (1/h - 2)exp(h/2)

f(x)/x = hf(1/h) = (1 - 2h)exp(h/2) = (1-2h)e(h/2)

Ensuite je fait le DL d'orde 2 de e(h/2)
e(h/2) = 1 + h/2 + hcarré/8 + 0(hcarré)

Jusque là c'est bon ?
Et là je fait quoi ? e(h/2) -2he(h/2) ?

Or pour -2he(h/2) c'est -2h (1 + h/2 + hcarré/8 + 0(hcarré)) ?
Ou il faut prendre le DL 1 et non le DL 2 ? (si c'est le cas, pourquoi ?)
Ce qui donnerait -2h (1 + h/2 + 0(h)) = -2h -hcarré + 0(hcarré)
C'est bon jusque là ?

Si oui il suffirait ensuite de faire e(h/2) -2he(h/2) = 1 + h/2 + hcarré/8 + 0(hcarré) -2h -hcarré + 0(hcarré) = 1 - (3h)/2 - (7hcarré)/8 + 0(hcarré)

J'ai bon ?

Merci beaucoup !

[Sa Majesté]

Par contre pourquoi O(h^3) ?
Ne serait-ce pas plutôt O(h^2) ?

C'est soit o(h²) soit O(h^3)
O(h^3) est plus précis car il signifie que le terme non écrit est en h^3
Alors que o(h²) signifie que le terme non écrit est négligeable devant h² (ça peut être du h^3 mais aussi du h^4 ...)

[Sa Majesté]

En fait non je n'ai pas tout compris...

Je galère avec l'exercice suivant exactement du même type :

Voici ce que je ferais :

Posons h = 1/x.
f(1/h) = (1/h - 2)exp(h/2)

f(x)/x = hf(1/h) = (1 - 2h)exp(h/2) = (1-2h)e(h/2)

Ensuite je fait le DL d'orde 2 de e(h/2)
e(h/2) = 1 + h/2 + hcarré/8 + 0(hcarré)

Jusque là c'est bon ?
Et là je fait quoi ? e(h/2) -2he(h/2) ?

Or pour -2he(h/2) c'est -2h (1 + h/2 + hcarré/8 + 0(hcarré)) ?
Ou il faut prendre le DL 1 et non le DL 2 ? (si c'est le cas, pourquoi ?)

Oui mais c'est parce que tu as développé (voir plus bas)

Si oui il suffirait ensuite de faire e(h/2) -2he(h/2) = 1 + h/2 + hcarré/8 + 0(hcarré) -2h -hcarré + 0(hcarré) = 1 - (3h)/2 - (7hcarré)/8 + 0(hcarré)

J'ai bon ?

Merci beaucoup !

C'est bon mais un poil compliqué
Il suffit de faire (1-2h)(1 + h/2 + h²/8 + 0(h^3)) et de développer maintenant (et pas avant)

[Charisma]

D'accord je comprend mieux.

Merci beaucoup de m'avoir aidé !