Transcendance

[kat]

Bonjour,

Sur ce lien :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Lindemann-Weierstrass

il est démontré que si un nombre complexe est transcendant alors sa partie imaginaire et sa partie réelle le sont aussi. je ne comprends pas comment il le montre. D'où viennent les équations ? Et l'absurdité ? puis comment il en conclut que Pi est lui aussi transcendant ?

Si vous pouviez m'éclairer un petit peu ...

Merci d'avance

[Doraki]

Généralement on a seulement x algébrique <=> Re(x) et Im(x) sont algébriques.

Dans le cas de l'article,
a priori, pour a réel, e^ia est dans Q(cos(a),sin(a)).
Mais en fait on a mieux : en utilisant des relations trigos on montre que e^ia est algébrique sur Q(cos(a)) ainsi que Q(sin(a))

Donc si cos(a) ou sin(a) est algébrique, alors e^ia est algébrique sur Q aussi.
Et au final, cos(a) algébrique <=> sin(a) algébrique <=> e^ia algébrique.

En outre, le théorème dit que a algébrique => e^ia transcendant, c'est avec ça qu'on en déduit que pi ne peut pas être algébrique.