Parabole et droite

[maxxou]

bonjour voila j'ai un dm pour mercredi et je fais du sur place jusqu'a maintenant voila le probleme (ps: ce qu'il y a entre crochets sont des indications) :

Dans un repere (O ; i ; j), on note P la parabole d'equation y=x² et A le point de coordonnées (0;1)
Une droite d de coefficient directeur m passe par A et coupe P en M et N.

Objectif: trouver le lieu du milieu I de [MN] ( ps : le lieu est un ensemble de points)

1. [ il est toujours bon de faire une figure. ]
Faites une figure.

2. [ Lorsque d pivote autour de A on conjecture que M et N existent toujours. Prouvons-le.
Pour trouver les point d'intersection des deux courbes Cf et Cg d'équations y=f(x) et y=g(x), on raisonne en général comme suit.
Dire que M de coordonnées (u;v) appartient à l'intersection de Cf et Cg équivaut a dire que v=f(u) et v=g(u)
Donc u est solution de l'équation f(x)=g(x) dite équation aux abscisses ]

Démontrez que l'équation aux abscisses est:
x²-mx-1=0 [1]

Pourquoi cette équation a-t-elle toujours deux racines distinctes ( référence au second degré ) ?

3. [ Si on note, par exemple, x1 l'abscisse de M et x2 celle de N, on sait trouver, en fonction de x1 et x2, les coordonnées (xI;yI) du point I milieu de [MN]. Il est alors inutile de calculer x1 et x2. ]

a) Vérifiez que:

xI = (x1+x2)/2 et yI = (m/2)(x1+x2)+1

b) Déduisez-en, en fonction de m, les coodronnées du point I.

4. [ Pour trouver le lieu L de I, on essaie d'abord de trouver une relation entre xI et yI ]

a) Prouvez que I appartient à la parabole C d'equation y= 2x²+1

b) Reciproquement, il reste desormais a repondre a la quetion suivante : Le point I decrit-il toute la courbe C ? ( la j'ai vraiment rien compris :ptdr: )
Lorsque m decrit {R}, prouvez que xI décrit {R} et deduisez-en que I decrit toute la courbe C.

Voila le dm. J'aimerais que vous ne me donniez pas les reponses mais que vous m'expliquiez si vous y arrivez...
Merci.

[Alpha]

Salut, quelles questions as-tu faites? As-tu fait la figure?

Pour la 2), pour savoir si M et N existent toujours, il faut vérifier si la droite d coupe toujours la parabole en 2 points, c'est-à-dire vérifier si l'équation y = mx 1 = x² admet toujours 2 solutions.

( y = mx +1 est l'équation de la droite d, y = x² celle de la parabole, et faire y = mx+1 = x² revient à faire v=f(u) et v=g(u) comme c'est expliqué dans ton énoncé).

Par contre, change ton titre en éditant ton message, il faut qu'il indique le contenu de ton post ("parabole et droite" par ex).


PS (pour anima) : c'est mon 2008ème message, je m'arrête là ou pas? :zen:

[maxxou]

y = mx+1 = x² revient à faire v=f(u) et v=g(u)

c'est sa que je comprends pas...

[maxxou]

oui jai fait la figure.

[maxxou]

j'ai trouver la 2. j'aimerais de l'aide pour la 3. svp

[Alpha]

Un point est un point d'intersection de la droite et de la parabole si son abscisse et son ordonnée sont celles à la fois de la droite et de la parabole, ce qui revient à dire que pour une certaine abscisse x, on a f(x) = g(x) (où f et g sont, pour l'une, la fonction représentée par la droite d, pour l'autre, la fonction représentée par la parabole).

Pour la 3), tu dois savoir comment on calcule une distance, quelle est donc la distance MN?