K(R) est un espace de Banach

[gibran]

Bonjour à tous,

Un des premiers résultats de mon cours d'analyse fonctionnel est que l'espace de fonctions continues sur un compact muni de la norme uniforme est un espace de Banach.

Cette assertion ne me parait pas triviale: j'ai lu quelque part que cela résultait du fait que la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est une fonction continue.

Mais je n'arrive pas utiliser ce résultat en partant d'une suite de Cauchy, pour démontrer que celle-ci est convergente !

Mon prof de maths n'a pas daigné donner la dém alors que j'ai passé déjà une paire d'heures à essayer de démontrer ce résultat ! Est-ce que je passe à côté d'un gros argument ??? (je n'ai pas eu une scolarité habituelle et je suis en DEA maths sans avoir suivi le parcours classique de la fac).

Un grand merci d'avance à celui qui pourra m'aider !

[COTLOD]

Bonjours, peux-tu écrire que qu'une suite d'une fonctions continues sur un compact est de Cauchy avec epsilon et heta ?

[ffpower]

Commence par montrer que pour tout x,fn(x) est de Cauchy dans R donc convergente..

[gibran]

ok, donc là, je vais peut-être avoir l'air ridicule... :-)

Donc, on est d'accord: suite de Cauchy dans c(x) muni de la norme uniforme implique suite de Cauchy dans R pour tout x, donc convergence dans R.

J'ai donc une suite de fonctions qui converge simplement vers une fonction f.

Si, j'arrive à démontrer qu'il y a convergence uniforme, pas de soucis, j'aurais démontrer que f appartient à c(x), puisque limite uniforme d'une suite de fonctions continues.

Mais (et c'est là que je commence à me dire que j'ai perdu mon niveau en maths !) comment démontrer la convergence uniforme ???

Je veux bien introduire des termes dans la différence entre ma suite de fonctions et ma fonction dans la définition de la limite et me servir de résultat sur la continuité uniforme des fn, mais je n'ai rien sur la fonction f, qui n'est qu'une limite simple...

En tous cas, un grand merci pour votre aide !

[COTLOD]

Je me rappelle avoir compris ce passage de la démo, pour l'avoir ensuite oublié, et enfin compris à nouveau. Je suis heureux que ça ne fasse pas cet effet qu'à moi.

Il y a cet étape du passage à la limite : devient en faisant tendre q vers l'infini.

[busard_des_roseaux]

bjr,

soit une suite de Cauchy pour la convergence
uniforme, l'espace F d'arrivée est supposé complet.





est une suite de Cauchy converge vers f(x)
car F est complet

en passant à la limite sur p, la norme étant continue,


d'où tend f pour la convergence uniforme.



d'où f est continue.

[gibran]

Ok, merci beaucoup à tous pour votre aide !

Au passage, j'ai eu le temps de regarder un peu les topics du forum: bravo aux modérateurs et aux membres avertis ! Je trouve le principe de ce forum et la façon dont il est tenu assez génial !

Bonne soirée ! (pour ma part, elle sera consacrée à la topologie faible * :-))

[Maxmau]

Bj
Le résultat suivant simplifie souvent les choses:
Si, dans un espace vectoriel normé réel ou complexe, toute série normalement convergente est convergente alors cet espace est complet.