DM fonctions/limites

[Ghuighui]

Bonjour à tous !!!

Je suis en TS et j'ai 2 exos a faire pour jeudi, et vu ma dernière note j'aimerai pas me planter ce coup ci ^^
Pour le premier :

Soit a et b deux réels et f la fonction définie sur R par :
- Si x(ou égal) 1 : f(x) = b/x - x

Déterminer les réels a et b pour que f soit dérivable sur R

J'ai une petite idée du résultat à obtenir : il faut trouver les tangentes en 1+ et en 1-, tangentes exprimées en fonction de x, a et b. Ensuite, il suffit de trouver a et b pour que les 2 tangentes soient identiques.
D'accord mais comment faire ? Le prof nous a aussi parler de la continuité. Et avec toutes les formules je suis un peu perdu et ne sais pas par ou commencer...

Pour le 2ème exo :

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 2cos(x) - sin(2x)
Et Cf sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal

1/a) Démonter que f est une fonction periodique de periode 2 pi
Quelle propriété en déduit-on pour la courbe Cf ?
b) Pour h réel, comparer f(pi/2 + h) et f(pi/2 - h)
En déduire que la courbe Cf possède un élément de symétrie que l'on précisera
c) En déduire qu'il suffit d'étudier la fonction f sur l'intervalle [-pi/2 ; pi/2]

2/a) Determiner la fonction dérivée de f et démontrer que, pour tout réel x, on a : f'(x) = 2(sin(x) - 1) (2sin(x) + 1)
b) En déduire le tableau des variations de f sur l'intervalle [-pi/2 ; pi/2]

3/ Représenter la courbe Cf sur l'écran d'une calculatrice et vérifier les résultats obtenus aux questions précédentes

Alors la je patauge. Comment prouver que la fonction est périodique, comment comparer f(n/2 + h) et f(n/2 + h) ? Pour le reste ca va mais surtout la question 1/a-b...

Je vous remercie d'avance

[XENSECP]

pour le début il faut effectivement que les tangentes en 1 soient les mêmes de part et d'autre...et en toute logique faut que ca se raccorde (continuité) donc ca te donne 2 équations à 2 inconnues ;)

[Ghuighui]

Ok donc je calcule pour x0 = 1 :

- (f(x0+h) - f(x0)) / h avec la fonction ax² + 6x - 5
- (f(x0+h) - f(x0)) / h avec la fonction b/x - x

A ces 2 pentes de tangente on calcule l'ordonnée à l'origine = f(x) - x

On obtient maintenant 2 équations de tangentes, chacune à 2 inconnues. Et il faut trouver a et b pour que ces 2 équations soient égales.
Dites moi si je me trompe ou si j'oublie un truc svp ^^

Par contre pour la continuité, il faut la prouver avant ou après le calcul de a et b ?

[XENSECP]

euh je pensais que tu étais déjà à résoudre le système !

le taux de variation c'est beau, mais inutile ! tu cherche la dérivée en 1 (f ' (1) quoi)
et pour la continuité c'est une 2ème équation nécessaire pour résoudre le système de toute facon ;)

[Ghuighui]

je croyais que les 2 équations du système étaient les 2 tangentes :hum:
(10 min plus tard : ah non excusez moi ^^)

je trouve pour x < 1 :
y = (2a+6)x + (b-1)-(2a+6)
y = (2a+6)x -2a + b - 7

Et pour x >ou égal 1 :
y = (b/2 -1)x + (b-1)-(2a+6)
y = (b/2 -1)x -2a + b - 7
J'ai juste un petit doute sur la dérivée de b/x - x. Sur ma copie j'ai mis b/(2racine(x)) - 1, c'est bien ca ? (pas facile d'écrire les maths avec un clavier ^^)

Pour l'équation de la continuité, je trouve :
ax²2+6-5 = b-1

Donc ca nous fait un système à 2 équations 2 inconnues comme prévu :
( (2a+6)x + b-1 = (b/2 -1)x + b-1
( ax²2+6-5 = b-1

[Ghuighui]

je croyais que les 2 équations du système étaient les 2 tangentes :hum:
(10 min plus tard : ah non excusez moi ^^)

je trouve pour x ou égal 1 :
y = (-b -1)x + (b-1)-(-b-1)
y = (-b -1)x +2b

Pour l'équation de la continuité, je trouve :
b/x - x = b-1
Un petit doute, si on pouvait confirmer..

Donc ca nous fait un système à 2 équations 2 inconnues comme prévu :
( (2a+6)x -2a + b - 7 = (-b -1)x +2b
( b/x - x = b-1

[xyz1975]

Bonsoir,
pour le premier exo :
1/ Il faut assurer la continuité de cette fonction en 1
2/ Puis sa dérivabilité en 1.
Pour la continuité :
On sait que f(1)=b-1, la limite à gauche de 1 de f est a+1 soit alors :
b-1=a+1 ou bien b=a+2........... (première équation).
Pour la dérivabilité en 1 :
On calcule le taux d'accroissement en par valeur inférieures et supérieures, les valeurs doivent d'être égales.
Montrez moi le calcul.

[Ghuighui]

ca va etre plus simple en image ^^

Donc voici mon travail :
http://i35.servimg.com/u/f35/11/05/88/12/dsc00510.jpg
http://i35.servimg.com/u/f35/11/05/88/12/dsc00511.jpg

Enregistre pour pouvoir zoomer ou retourner l'image qui n'est pas a l'endroit :id:

[Sa Majesté]

A mon avis, tu ne peux pas parler de la tangente en 1- tant que tu n'as pas assuré la continuité de f en 1
Une fois que f est continue en 1, tu fais en quelque sorte un prolongement par continuité de f en 1- qui te permet de calculer le nombre dérivé de f en 1-
Donc je dirais : il faut trouver a et b tels que f soit dérivable sur R c-à-d tels que :
1) f soit continue sur R
2) le nombre dérivé en 1- et le nombre dérivé en 1+ soient égaux
Il faut bien sûr d'abord dire que f est dérivable sur ]-oo,1[ et sur ]1,+oo[
Attention qd tu dis que la fonction f ax²+6x-5 est un polynôme donc dérivable sur R
Appelle cette fonction plutôt g (car f est déjà pris) et dis alors que g est dérivable sur R donc f est dérivable sur ]-oo,1[
Ecris la 1ère équation (continuité de f en 1)
Puis la 2ème équation (nombre dérivé en 1- = nombre dérivé en 1+) et calcule les nbs dérivés par les taux d'accroissement. Tu ne peux pas calculer f'(1) à gauche comme tu l'as fait car f n'est justement pas définie à gauche par ax²+6x-5. C'est pour ça qu'il faut commencer par la continuité.
Je ne sais pas si je suis clair ... :hum:

[Ghuighui]

Dans le livre les 2 fonctions sont appellées f car en fait ce sont les mêmes.

Par contre non tu n'est pas trop clair ^^
Et est-ce que quelqu'un peut-il me donner une réponse clair à mon texte en gras, plus haut, en plus de toutes ces précisions ? :)
(en fait vu le temps que j'ai passé sur cette approche je préférerais finir mon devoir comme ca, en corrigeant mes fautes avec votre aide. De toutes facons on a besoin de l'équation de la continuité pour résoudre le système donc à la place de prouver la continuité comme tu le dit, je rajoute sur ma copie que je suppose f continue en 1, et elle le sera puisqu'on prendra a et b pour qu'elle le soit, je sais pas si vous me suivez ^^).

[xyz1975]

je ne sais pas est ce que vous avez lu mon précédent message ou non?
Il faut d'abord assurer la continuité.
Puis montrer que le nombre dérivé à gauche est égal à celui de droite.
Cela vous fera 2 équations à deux inconnues.
pour l'histoire de tangente, il faut l'oublier, pourquoi?
On ne peut pas écrire l'équation de la tangente à une courbe en un point si on est pas sur que cette fonction est dérivable en l'abscisse de ce point !!
La continuité en 1 implique que b=a+2.
le nombre dérivé en 1 par valeurs supérieures doit être égal au nombre dérivé en par valeurs inférieures.
est ce que c'est clair?

[Ghuighui]

Ah mais oui c'est très clair sauf que notre prof nous a dit très clairement aussi qu'il fallait démontrer que la tangente a droite est égale à la tangente a gauche. Peut-être que c'est pas vraiment possible comme ca mais je préfère faire comme il nous as dit ca évitera les questions du genre "c'est toi qui a fait le devoir ?"

[xyz1975]

Ah mais oui c'est très clair sauf que notre prof nous a dit très clairement aussi qu'il fallait démontrer que la tangente a droite est égale à la tangente a gauche. Peut-être que c'est pas vraiment possible comme ca mais je préfère faire comme il nous as dit ca évitera les questions du genre "c'est toi qui a fait le devoir ?"

Je suppose que vous avez mal entendu, sinon il n'est pas possible de parler de l'équation d'une tangente alors qu'on n'a pas encore vérifié que la fonction est dérivable.
Juste regarder l'équation de la tangente :

Par quoi vous allez remplacer f'(1) ?

[xyz1975]

Il n'y a qu'une seule méthode pour votre exo, c'est bien ce que je vous ai dit.

[Ghuighui]

J'assure avoir bien entendu, il nous l'a dit en cours et en soutient

Mais la fonction est dérivable, je le dit dans mon devoir (polynome de degré 2 ect...)
Et justement, pour votre question "Par quoi vous allez remplacer f'(1) ?" c'est la que je coince. Je vous remet un image ou j'entoure en rouge ce sur quoi je doute.
http://i35.servimg.com/u/f35/11/05/88/12/lll10.jpg
Fallait-il utiliser la 1ère ou la 2ème fonction ? Sachant que si j'utilise la 2ème pour f' ET f ca n'a aucun sens, autant dire tout de suite que les 2 tangentes sont égales puisqu'on ferait le meme calcul